Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

Đáy là một đa giác nội tiếp

Chứng minh. Xem bài giảng

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

$R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1.Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật với $A B = 3 a, B C = 4 a, S A = 12 a$ và $S A$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C D .$

A. $R = \frac{13 a}{2} .$

B. $R = 6 a .$

C. $R = \frac{17 a}{2} .$

D. $R = \frac{5 a}{2} .$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có $R_{d} = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{9 a^{2} + 16 a^{2}}}{2} = \frac{5 a}{2} .$

Vậy $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{5 a}{2})}^{2} + {(\frac{12 a}{2})}^{2}} = \frac{13 a}{2} .$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = S B = S C = a, \hat{A S B} = \hat{A S C} = 90^{0}, \hat{B S C} = 60^{0} .$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $\frac{7 π a^{2}}{6} .$

B. $\frac{7 π a^{2}}{3} .$

C. $\frac{7 π a^{2}}{18} .$

D. $\frac{7 π a^{2}}{12} .$

Giải. Ta có ${\begin{matrix} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S C \end{matrix} \Rightarrow S A ⊥ (S B C) .$

Vì vậy $R = \sqrt{R_{S B C}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{B C}{2 \sin \hat{B S C}})}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2 \frac{\sqrt{3}}{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{7}{12}} a .$

Diện tích mặt cầu $S = 4 π R^{2} = \frac{7 π a^{2}}{3} .$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối tứ diện vuông $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc có $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} .$

Ví dụ 1:Khối tứ diện $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $\sqrt{3} .$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $O A B C$ bằng

A. $\frac{4}{3} .$

B. $8.$

C. $\frac{8}{3} .$

D. $8.$

Giải. Ta có $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} = \sqrt{3} \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 12.$

Mặt khác $V_{O A B C} = \frac{1}{6} . O A . O B . O C$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

$12 = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} \geq 3 \sqrt[3]{O A^{2} . O B^{2} . O C^{2}} \Rightarrow O A . O B . O C \leq 8.$

Do đó $V_{O A B C} \leq \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .$ Chọn đáp án A.

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

$R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $a = \frac{\sqrt{3} R}{3} .$

B. $a = 2 R .$

C. $a = \frac{2 \sqrt{3} R}{3} .$

D. $a = 2 \sqrt{3} R .$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$ Vậy $a = \frac{2 \sqrt{3} R}{3} .$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có các cạnh đều bằng $a$ . Tính diện tích $S$ của mặt cầu đi qua$$ $6$ đỉnh của hình lăng trụ đó.

A. $S = \frac{49 π a^{2}}{144} .$

B. $S = \frac{7 a^{2}}{3} .$

C. $S = \frac{7 π a^{2}}{3} .$

D. $S = \frac{49 a^{2}}{144} .$

Giải. Có $S = 4 π R^{2} = 4 π (R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}) = 4 π ({(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}) = \frac{7 π a^{2}}{3} .$ Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Khối tứ diện $(H_{1})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $(H_{2}),$ khi đó $R_{(H_{1})} = R_{(H_{2})} = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao $h$ không đổi và đáy là tứ giác $A B C D,$ trong đó $A, B, C, D$ thay đổi sao cho $\vec{I A} . \vec{I C} = \vec{I B} . \vec{I D} = - h^{2},$ với $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.

Giải.

Ta có $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có

$\vec{I A} . \vec{I C} = \vec{I B} . \vec{I D} = - h^{2} = O I^{2} - R_{d}^{2} \Leftrightarrow R_{d}^{2} = O I^{2} + h^{2} \geq h^{2} .$

Do đó $R \geq \sqrt{h^{2} + \frac{h^{2}}{4}} = \frac{h \sqrt{5}}{2} .$

Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại $O \equiv I .$

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{a}{2} . \cot x)}^{2}}$ trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a, x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức $R = \sqrt{R_{d}^{2} + R_{b}^{2} - \frac{a^{2}}{4}},$ trong đó $R_{b}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông, tam giác $S A D$ đều cạnh $\sqrt{2} a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C D .$

A. $R = \frac{a \sqrt{10}}{2} .$

B. $R = \frac{a \sqrt{42}}{6} .$

C. $R = \frac{a \sqrt{6}}{4} .$

D. $R = \sqrt{2} a .$

Giải. Ta có $R = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2} . \cot 60^{0})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2 \sqrt{3}})}^{2}} = \frac{a \sqrt{42}}{6} .$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A .$ Biết $A B = A A^{'} = a,$ $A C = 2 a .$ Gọi $M$ là trung điểm của $A C .$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng

A. $5 π a^{2} .$

B. $3 π a^{2} .$

C. $4 π a^{2} .$

D. $2 π a^{2} .$

Giải. Chóp $M . A^{'} B^{'} C^{'}$ có mặt bên $(M A^{'} C^{'}) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ do đó

$S = 4 π R^{2} = 4 π (R_{A^{'} B^{'} C^{'}}^{2} + R_{M A^{'} C^{'}}^{2} - {(\frac{A^{'} C^{'}}{2})}^{2}) = 4 π ({(\frac{\sqrt{5} a}{2})}^{2} + a^{2} - {(\frac{2 a}{2})}^{2}) = 5 π a^{2} .$

trong đó $R_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{2} = \frac{\sqrt{5} a}{2}; M A^{'} = M C^{'} = \sqrt{2} a, A^{'} C^{'} = 2 a \Rightarrow M A^{'} ⊥ M C^{'} \Rightarrow R_{M A^{'} C^{'}} = \frac{A^{'} C^{'}}{2} = a .$

Chọn đáp án A.

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R = \frac{c b^{2}}{2 h},$ trong đó $c b$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h = \sqrt{c b^{2} - R_{d}^{2}} .$

Ví dụ 1.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh $\sqrt{3} a .$

A. $R = \frac{a \sqrt{6}}{4} .$

B. $R = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

C. $R = \frac{3 \sqrt{2} a}{4} .$

D. $R = \frac{3 a}{4} .$

Giải.Ta có $c b = \sqrt{3} a, h = \sqrt{c b^{2} - R_{d}^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - {(\frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{2} a \Rightarrow R = \frac{3 a^{2}}{2 \sqrt{2} a} = \frac{3 \sqrt{2} a}{4} .$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng $\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $x$ với $x > 1.$ Thể tích của khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C$ có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(7; 3 π) .$

B. $(0; 1) .$

C. $(1; 5) .$

D. $(5; 7) .$

Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi

$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{c b^{2}}{2 h})}^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2}}})}^{3} = g (x) = π \frac{x^{6}}{6 \sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} \geq min_{(1; + \infty)} g (x) = g (\sqrt{2}) = \frac{4 π}{3} .$ Chọn đáp án C.

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Đáy là một đa giác nội tiếp

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12aAB=3a,BC=4a,SA=12a và SASA vuông góc với đáy. Tính bán kính RR của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.S.ABCD.

A. R=13a2.R=13a2.

B. R=6a.R=6a.

C. R=17a2.R=17a2.

D. R=5a2.R=5a2.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có SA=SB=SC=a,ˆASB=ˆASC=900,ˆBSC=600.SA=SB=SC=a,ASB^=ASC^=900,BSC^=600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. 7πa26.7πa26.

B. 7πa23.7πa23.

C. 7πa218.7πa218.

D. 7πa212.7πa212.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Ví dụ 1:Khối tứ diện OABCOABC có OA,OB,OCOA,OB,OC đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng √3.3. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện OABCOABC bằng

A. 43.43.

B. 8.8.

C. 83.83.

D. 8.8.

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính RR ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a.a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. a=√3R3.a=3R3.

B. a=2R.a=2R.

C. a=2√3R3.a=23R3.

D. a=2√3R.a=23R.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng aa. Tính diện tích SScủa mặt cầu đi qua$$ 66 đỉnh của hình lăng trụ đó.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng R=√R2d+(h2)2.R=Rd2+(h2)2.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SADSAD đều cạnh √2a2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính RR của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.S.ABCD.

A. R=a√102.R=a102.

B. R=a√426.R=a426.

C. R=a√64.R=a64.

D. R=√2a.R=2a.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ có đáy ABCABC là tam giác vuông tại A.A. Biết AB=AA′=a,AB=AA′=a, AC=2a.AC=2a. Gọi MM là trung điểm của AC.AC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA′B′C′MA′B′C′ bằng

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có R=cb22h,R=cb22h, trong đó cbcb là độ dài cạnh bên và hh là chiều cao khối chóp, được xác định bởi h=√cb2−R2d.h=cb2−Rd2.

Ví dụ 1.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh √3a.3a.

A. R=a√64.R=a64.

B. R=a√32.R=a32.

C. R=3√2a4.R=32a4.

D. R=3a4.R=3a4.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCS.ABC có cạnh đáy bằng √33 và cạnh bên bằng xx với x>1.x>1. Thể tích của khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCS.ABC có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (7;3π).(7;3π).

B. (0;1).(0;1).

C. (1;5).(1;5).

D. (5;7).(5;7).

Công thức 7:Khối tứ diện gần đều ABCDABCD có AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=cAB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c có R=√a2+b2+c28.