Bài viết giúp bạn nhận diện được hệ phương trình đối xứng loại 1 và cách giải nhanh nhất. Đây là loại hệ phương trình khá phổ biến trong chương trình toán THCS, lên đến bậc THPT các em vẫn thường gặp với vai trò là các bài toán nhỏ trong một bài toán lớn. Cùng Verbalearn theo dõi để đưa ra phương pháp giải nhanh chóng nhất.
Mục lục1.Lý thuyết hệ phương trình đối xứng loại 12.Bài tập mẫu về hệ phương trình đối xứng loại 13.Kết luận
Lý thuyết hệ phương trình đối xứng loại 1
Nội dung chủ đề này tôi đề cập đến phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại I và một số hệ đưa được về hệ đối xứng loại I thông qua các phép đặt ẩn phụ cơ bản. Ngoài ra đề cập ứng dụng của hệ đối xứng loại I trong giải phương trình vô tỷ và chứng minh bất đẳng thức.
1. Phương pháp giải
Đa thức đối xứng: Xét đa thức hai biến $x,y$ là $P\left( {x;y} \right)$
Nếu $P\left( {x;y} \right) = P\left( {y;x} \right)$ với mọi $x,y \in R$ thì ta nói $P\left( {x;y} \right)$ là đa thức đối xứng.
Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}F\left( {x;y} \right) = 0\\G\left( {x;y} \right) = 0\end{array} \right.$
Trong đó: $F\left( {x;y} \right);G\left( {x;y} \right)$ là các đa thức đối xứng với $x,y$.
– Hệ đối xứng loại I là hệ mà vai trò của $x,y$ trong mỗi phương trình của hệ là như nhau.
– Nếu $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là nghiệm của hệ thì $\left( {{y_0},{x_0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ.
Ví dụ 1. Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy + x + y\\xy = x + y – 1\end{array} \right.$
Với hệ này đổi vay trò của $x,y$ thì hệ không thay đổi.
2. Phương pháp chung
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.$ với điều kiện ${S^2} \ge 4P$ tìm được $S,P$
Khi đó theo định lý Vi-ét $x,y$ là hai nghiệm của phương trình: ${t^2} – St + P = 0$.
Lưu ý: Một số trường hợp ta phải đặt $S = x – y,P = xy$ và lúc này ta phải có ${S^2} \ge – 4P$ thực chất là hệ được suy ra từ hệ đối xứng loại 1 khi thay $y$ bởi $ – y$. Một số bài toán đơn giản mà khi biến đổi $S,P$ chỉ có dạng bậc nhất hoặc dạng bậc hai ta có thể không cần đặt ẩn phụ và cứ thế tiến hành biến đổi tương đương. Khi tìm được $S,P$ việc tìm $x,y$ không cần chi tiết mà chỉ ra chỉ ra nghiệm $\left( {x;y} \right)$ bằng bao nhiêu.
Một số hằng đẳng thức hay được sử dụng:
${x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = {S^2} – 2P$
${x^2} – xy + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – 3xy = {S^2} – 3P$
${x^2} + xy + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – xy = {S^2} – P$
${x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right] = S\left( {{S^2} – 3P} \right)$
${x^4} + {y^4} = {\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy} \right]^2} – 2{x^2}{y^2} = {\left( {{S^2} – 2P} \right)^2} – 2{P^2}$
${x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = \left( {{x^2} + {y^2} – xy} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) = {\left( {{S^2} – 2P} \right)^2} – {P^2}$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{S}{P}$
$\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{S^2} – 2P}}{{{P^2}}}$
Đặc điểm của dạng toán này là đôi khi số nghiệm của hệ thì chỉ có nghiệm duy nhất hoặc có số nhiệm chẵn và đôi khi rất nhiều nghiệm có khi đến 8 hoặc 16 nghiệm.
Bài tập mẫu về hệ phương trình đối xứng loại 1
Bài 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 4\\x\left( {x + y + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = 2\end{array} \right.$
Lời giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 4\\{x^2} + {y^2} + x + y + xy = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 4\\xy = – 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} – 2xy + x + y = 4\\xy = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} + x + y = 0\\xy = – 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\xy = – 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = – 1\\xy = – 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\y = – \sqrt 2 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = – \sqrt 2 \\y = \sqrt 2 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\y = 1\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 2 ; – \sqrt 2 } \right);\left( { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right);\left( {1; – 2} \right);\left( { – 2;1} \right)$
Bài 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2xy = 2\\{x^3} + {y^3} = 8\end{array} \right.$
Lời giải
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}S + 2P = 2\\S\left( {{S^2} – 3P} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \frac{{2 – S}}{2}\\S\left( {{S^2} – \frac{{6 – 3S}}{2}} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{S^3} + 3{S^2} – 6S – 16 = 0\\P = \frac{{2 – S}}{2}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {S – 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0\\P = \frac{{2 – S}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 2\\P = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right);\left( {0;2} \right)$
Bài 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.$
Lời giải
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} – 3P} \right) = 19\\S\left( {8 + P} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^3} – 3\left( {2 – 8S} \right) = 19\\SP = 2 – 8S\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^3} + 24S – 25 = 0\\P = \frac{{2 – 8S}}{S}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {S – 1} \right)\left( {{S^2} + S + 25} \right) = 0\\P = \frac{{2 – 8S}}{S}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P = – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\xy = – 6\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = – 2\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\y = 3\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {3; – 2} \right);\left( { – 2;3} \right)$
Bài 4. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)\\\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6\end{array} \right.$
Lời giải
Đặt $\sqrt[3]{x} = a,\sqrt[3]{y} = b$. Khi đó hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)\\a + b = 6\end{array} \right.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = a + b\\P = ab\end{array} \right.,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}2S\left( {{S^2} – 3P} \right) = 3SP\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 6\\ab = 8\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 64\\y = 8\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 64\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {64;8} \right);\left( {8;64} \right)$
Bài 5. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right.$
Lời giải
Cách 1: Bình phương hai vế phương trình hai của hệ và rút $x + y$ theo $xy$ thế vào phương trình đầu của hệ.
Điều kiện $x \ge 0,y \ge 0$
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left[ {{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} – 2\sqrt {xy} } \right]}^2} – 2xy} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left[ {16 – 2\sqrt {xy} } \right]}^2} – 2xy} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2xy – 64\sqrt {xy} + 256} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy – 32\sqrt {xy} + 128} = 8 – \sqrt {xy} \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy – 32\sqrt {xy} + 128 = 64 – 16\sqrt {xy} + xy\\\sqrt {xy} \le 8\\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\xy = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {4;4} \right).$
Cách 2: Từ hai phương trình của hệ ta có
$\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + 2\sqrt {xy} = {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = x + y \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {x^2} + 2xy + {y^2}$
$ \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y$
Thay $x = y$ vào phương trình thứ hai của hệ ta có kết quả tương tự.
Bài 6. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^4} + {y^4} + 6{x^2}{y^2} = 41\\xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10\end{array} \right.$
Lời giải
Cách 1: Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra $xy > 0$
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + 4{x^2}{y^2} = 41\\xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{100}}{{{x^2}{y^2}}} + 4{x^2}{y^2} = 41\\xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^4}{y^4} – 41{x^2}{y^2} + 100 = 0\\xy\left[ {{{\left( {x – y} \right)}^2} – 2xy} \right] = 10\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left[ \begin{gathered}xy = 2 \hfill \\xy = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\xy\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy} \right] = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{gathered}x + y = \pm 3 \hfill \\xy = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}x + y = \pm 3 \hfill \\xy = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Với $\left\{ \begin{gathered}x + y = \pm 3 \hfill \\xy = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 1;y = 2 \hfill \\x = 2;y = 1 \hfill \\x = – 1;y = – 2 \hfill \\x = – 2;y = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Với $\left\{ \begin{gathered}x + y = \pm 3 \hfill \\xy = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ trường hợp này không thỏa mãn ${\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy$ nên vô nghiệm.
Vậy hệ có bốn nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right);\left( { – 1; – 2} \right);\left( { – 2; – 1} \right)$
Cách 2: Nhận thấy hai phương trình của hệ vế trái đều cùng bậc 4.
Ta đưa về phương trình:
${x^4} + {y^4} + 6{x^2}{y^2} = \frac{{41}}{{10}}xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow \left( {2x – y} \right)\left( {x – 2y} \right)\left( {{x^2} – \frac{8}{5}xy + {y^2}} \right) = 0$
Do $xy \ne 0 \Rightarrow {x^2} – \frac{8}{5}xy + {y^2} > 0$
Do đó hoặc $y = 2x$ hoặc $x = 2y$
Chỉ việc thế vào một trong hai phương trình của hệ ta tìm được $\left( {x;y} \right)$
Bài 7. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 49 \hfill \\\left( {x + y} \right)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lời giải
Điều kiện $xy \ne 0$
Hệ phương trình đã cho tương ứng với:
$\left\{ \begin{gathered}{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 49 \hfill \\x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{y}} \right)^2} = 53 \hfill \\x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}{\left( {x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y}} \right)^2} – 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 53 \hfill \\x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = – 14 \hfill \\x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{gathered}x + \frac{1}{x} = 7 \hfill \\y + \frac{1}{y} = – 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}x + \frac{1}{x} = – 2 \hfill \\y + \frac{1}{y} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{gathered}x = – 1 \hfill \\y = \frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}x = \frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2} \hfill \\y = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( { – 1;\frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {\frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2}; – 1} \right)$
Bài 8. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered}\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) = 18xy \hfill \\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + {x^2}{y^2}} \right) = 208{x^2}{y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lời giải
Nhận xét: Hệ phương trình này tương tự bài toán trên khi khử đi $xy$ và ${x^2}{y^2}$ bên vế phải của hệ phương trình của hệ.
Nhận thấy $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình
Xét với $xy \ne 0$ khi đó hệ phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{gathered}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 18 \hfill \\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 208 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 18 \hfill \\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 208 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 18 \hfill \\{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{y}} \right)^2} = 212 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 18 \hfill \\{\left( {x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y}} \right)^2} – 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 212 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 18 \hfill \\\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 56 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{gathered}x + \frac{1}{x} = 14 \hfill \\y + \frac{1}{y} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}x + \frac{1}{x} = 4 \hfill \\y + \frac{1}{y} = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{gathered}x = 7 \pm 4\sqrt 3 \hfill \\y = 2 \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}x = 2 \pm \sqrt 3 \hfill \\y = 7 \pm 4\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {7 \pm 4\sqrt 3 ;2 \pm \sqrt 3 } \right);\left( {2 \pm \sqrt 3 ;7 \pm 4\sqrt 3 } \right)$
Bài 9. Giải hệ phương trình (TSĐH Khối A 2006) $\left\{ \begin{gathered}x + y – \sqrt {xy} = 3 \hfill \\\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lời giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}xy \ge 0\\x,y \ge – 1\end{array} \right.$
Đặt $\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.,}&{\left( {{S^2} \ge 4P} \right)}\end{array}$. Khi đó hệ phương trình trở thành:
$\begin{array}{*{20}{c}}{{A^2} = {B^2},}&{{A^3} = {B^3},}&{{A^4} = {B^4},}\end{array}…\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{y}\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2} + 1} \right)\\y = {x^2} + x + 1\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}1 – {y^2} = 4xy\\4{x^2} + {y^4} – 4x{y^3} = 1\end{array} \right.$
$4\sqrt {{x^2} + 1} – {x^2} + {y^3} – 3y – 2 \ge 0$
$\left\{ \begin{array}{l}S – \sqrt P = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{P = {{\left( {S – 3} \right)}^2},}&{S \ge 3}\end{array}\\2\sqrt {S + {{\left( {S – 3} \right)}^2} + 1} = 14 – S\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{P = {{\left( {S – 3} \right)}^2},}&{S \ge 3}\end{array}\\2\sqrt {{S^2} – 5S + 10} = 14 – S\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{P = {{\left( {S – 3} \right)}^2},}&{S \ge 3}\end{array}\\4\left( {{S^2} – 5S + 10} \right) = {S^2} – 28S + 196\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{P = {{\left( {S – 3} \right)}^2},}&{S \ge 3}\end{array}\\3{S^2} + 8S – 156 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)$
Bài 10. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} – 1} + \sqrt {{y^2} – 1} = \sqrt {xy + 2} \\\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 1\end{array} \right.$
Lời giải
Điều kiện: $\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| \ge 1,}&{\left| y \right| \ge 1,}&{xy + 2 \ge 0}\end{array}$
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 1 + 2\sqrt {\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{y^2} – 1} \right)} + {y^2} – 1 = xy + 2\\{x^2} + {y^2} = {x^2}{y^2}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – xy – 4 + 2\sqrt {{x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 1} = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2}{y^2}\end{array} \right.$
Đặt $\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2} + {y^2},}&{v = xy,}&{\left( {u \ge 2,v \ge – 2} \right)}\end{array}$ hệ phương trình trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}u – v – 4 + 2\sqrt {{v^2} – u + 1} = 0\\u = {v^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1,v = – 1\\u = 4,v = 2\end{array} \right.$
Đối chiếu với điều kiện suy ra $\left\{ \begin{array}{l}u = 4\\v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\xy = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \sqrt 2 ;y = – \sqrt 2 \\x = \sqrt 2 ;y = \sqrt 2 \end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( { – \sqrt 2 ; – \sqrt 2 } \right);\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
Kết luận
Trên đây là một số cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 và các bài tập vận dụng tương ứng. Lý thuyết đa phần khá ngắn gọn, tuy nhiên để hiểu rõ và áp dụng vào bài tập thì bạn cần phải thực hiện càng nhiều càng tốt các bài tập mẫu mà chúng tôi đưa ra, điều này sẽ giúp bạn làm quen với hầu hết các biến thể có khả năng ra trong đề thi.
