Mệnh đề là phần kiến thức thuộc chương 1 – Đại số lớp 10. Trong chương trình toán học, mệnh đề là một mảng kiến thức dễ nhưng chứa đựng hầu hết các tư duy logic do đó học sinh không thể bỏ qua chuyên đề này được. Dưới đây là một số kiến thức về mệnh đề toán 10 và bài tập áp dụng.
Mục lục1.1. Kiến thức mệnh đề toán 102.2. Bài tập mệnh đề3.3. Bài tập tự luyện4.4. Tài liệu hay về phần mệnh đề
1. Kiến thức mệnh đề toán 10
1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mệnh mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Kí hiệu các mệnh để bởi các chữ in hoa $A$, $B$, $C$…
2. Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề ${\bf{P}}$ là $\overline P $, ta có: $\overline P $ đúng khi $P$ sai và $\overline P $ sai khi ${\bf{P}}$ đúng.
3. Một khẳng định chứa biến $p\left( x \right)$ không phải là một mệnh đề, nhưng với mỗi giá trị của biến x (thuộc một tập x nào đó) ta được một mệnh đề.
4. Kiến thức mệnh đề kéo theo
- Mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu: $P \Rightarrow Q$.
- Với $P$ là một mệnh đề đúng thì:
Nếu $Q$ dúng thì $P \Rightarrow Q$ đúng
Nếu $Q$ sai thì $P \Rightarrow Q$ sai
→ Các định lí toán học thường là những mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$. Khi đó ta nói: $P$ là giả thiết còn $Q$ là kết luận của định lí, hoặc $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ Hoặc $Q$ là điều kiện cần để có $P$. Kiến thức này thường xuyên áp dụng ở hình học hoặc các bài toán chứng minh đại số
5. Lý thuyết về mệnh đề đảo
- Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
- Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói ${\bf{P}}$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$ và đọc là ${\bf{P}}$ tương đương $Q$, hoặc ${\bf{P}}$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$, hoặc ${\bf{P}}$ khi và chỉ khi $Q$.
6. Kí hiệu $\forall $ đọc là “với mọi”. Mệnh đề $x \in X:p\left( x \right)$ là đúng có nghĩa là: với mọi $x$ thuộc tập $x$ mệnh dề $p\left( x \right)$là đúng.
7. Kí hiệu $\exists $ đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).
2. Bài tập mệnh đề
Ví dụ 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào không phải là mệnh đề:
a) $5 – 7 = 1$
b) $2 + 3 > 0$
c) $3 – x = 8$.
Giải
a) Khẳng định này là một mệnh đề: đó là khẳng định sai.
b) Khẳng định này là một mệnh đề: đó là khẳng định đúng.
c) Khẳng định này không phải là mệnh đề vì không biết nó đúng hay sai do chưa biết $x$ là bao nhiêu.
Ví dụ 2. Cho các mệnh đề sau:
a) A=”7 là một số nguyên tố” ;
b) $B = 9 < \sqrt {80} $;
c) C = “8 chia hết cho 5”.
Hãy phát biểu phủ định của chúng và xét tính đúng sai của chúng.
Giải
- a) $\overline A $ = “7 không phải là số nguyên tố” A đúng, $\overline A $ sai.
- b) $B = 9 < \sqrt {80} $ B sai, $\overline B $đúng.
- c) C = “8 không chia hết cho 5”. C sai, $\overline C $ đúng.
Ví dụ 3: Tìm một giá trị của $x$ thuộc tập số thực $$ để $p\left( x \right)$ trở thành một mệnh đề đúng (một mệnh đề sai) với:
a) $p\left( x \right) = 2x + 1 < x$;
b) $p\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – x + 2 = 0$.
Giải
a) $p\left( { – 2} \right) = 2.( – 2) + 1 \le – 2 = – 3 \le – 2$ là mệnh đề đúng
$p\left( 0 \right) = 2.0 + 1 \le 0 = 1 \le 0$ là mệnh đề sai.
b) $p\left( 1 \right) = {1^3} – 2.\left( 1 \right) – 1 + 2 = 0 = 0 = 0$ là mệnh đề đúng
$p\left( 3 \right) = {3^3} – 2.{\left( 3 \right)^2} – 3 + 2 = 0 = 8 = 0$ là mệnh đề sai.
Ví dụ 4. Trong các trường hợp sau, hãy lập các mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ và xét tính đúng, sai của mệnh đề đó.
a) $P = 3.5 = 17$; $Q = \pi \ge 10$”
b) $P$ = “Tam giác ABC là đều” ; $Q$ = “hai cạnh AB và BC của tam giác ABC bằng nhau”.
Giải
a) $P \Rightarrow Q$ = “Nếu $3.5 = 17$ thì $\pi \ge 10$”. Mệnh đề này đúng vì $P$ là sai
$Q \Rightarrow P$ = “Nếu $\pi \ge 10$ thì $3.5 = 17$ “, Mệnh đề này đúng vì $Q$ sai.
b) $P \Rightarrow Q$ = “Nếu tam giác ABC là đều thì hai cạnh AB và BC của nó bằng nhau”. Mệnh đề này đúng.
$Q \Rightarrow P$ = “Nếu hai cạnh AB và BC tam giác ABC bằng nhau thì tam giác đó đều”. Mệnh đề này sai (Nếu AB = BC thì tam giác ABC là cân, nhưng chưa chắc đã là đều).
Ví dụ 5. Với mỗi mệnh đề sau, hãy lập mệnh đề phủ định của nó và xét tính đúng sai của mệnh đề này:
a) $\exists x \in \left[ { – 1;3} \right]:{x^2} + 5x – 24 = 0$;
b) $\forall x \in Q:{x^2} + 3x \ne 0$.
Giải
a) Phủ định của mệnh đề đã cho là mệnh đề:
$\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]:{x^2} + 5x – 24 \ne 0$.
Mệnh đề này sai (vì khi $x = 3 \in \left[ {1;3} \right]$ thì ${3^2} + 5.3 – 24 = 0$).
b) Phủ định của mệnh đề đã cho là mệnh đề: $\exists x \in Q:{x^2} + 3x = 0$. Mệnh đề này đúng (vì khi $x = 0 \in Q$ thì ${0^2} + 3.0 = 0$).
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào không phải là mệnh đề:
a) ${5^2} + 3 = 10$;
b) $4x + 7 = 5$;
c) $\sqrt 3 – 2\sqrt 2 $là một số hữu ti ;
d) $7 – 1$ là một số quá lớn ;
e) ${x^2} – 2x > 0$.
Câu 2. Hãy phát biểu phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của các phủ định này:
a) $x = 1$ là một nghiệm của phương trình $\frac{{2{x^3} + {x^2} + 3x – 6}}{{{x^2} – 1}} = 0$
Câu 3. Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Lập các mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$, xét tính đúng sai của chúng, trong các trường hợp sau:
a) $P$ = “ABCD là hình thoi” ; $Q{\rm{ }} = {\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}BC$
b) $P$ = “ABCD là hình vuông” ; $Q$ = “ABCD là hình chữ nhật”
c) $P$ = “Hai đường chéo vuông góc với nhau”; $Q$ = “ABCD là hình vuông”
d) $P = BC = CD{\rm{ }};Q = \widehat A = 90^\circ $
Câu 4. Trong bài 1.3. a) hãy phát biểu các mệnh đề được lập ra dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ”.
Trong trường hợp này $P \Leftrightarrow Q$ là đúng hay sai ?
Câu 5. Tìm một giá trị của $x \in $ để mệnh đề $p\left( x \right)$ trở thành mệnh đề đúng với:
a) $p\left( x \right) = {x^2} + 9x – 10 > 0$;
b) $p\left( x \right) = 2x – 7 \ge 3x – 1$
c) $p\left( x \right) = 6x + 2 = 3$;
d) $p\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$.
Câu 6. Tìm một giá trị của $x \in $ để mệnh đề $p\left( x \right)$ trở thành mệnh đề sai với các trường hợp trong bài 5
Câu 7. Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của nó
a) $\forall \Delta ABC:\widehat A + \widehat B + \widehat C = 182^\circ $;
b) $\forall x \in :{x^3} + {x^2} = 0.$;
c) $\exists q \in :q > \pi $;
d) $\exists x \in + :{x^2} > \frac{3}{{{x^2} + 1}}$.
e) $\forall m \in :{m^2} + 3m > 0$
g) $\exists x \in \left[ {0,1} \right]:{x^2} – 4 = 0$.
Câu 8. Dùng các kí hiệu $\forall ,\exists $ để lập các phủ định của các mệnh đề ở bài 7. Phát biểu chúng thành lời và xét tính đúng, sai của chúng.
4. Tài liệu hay về phần mệnh đề
Vậy là qua bài viết vừa rồi, VerbaLearn vừa giới thiệu đến các bạn một số kiến thức cơ bản và bài tập của chuyên đề mệnh đề toán 10. Mong rằng với lượng kiến thức mà chúng tôi mang lại có thể giúp bạn kiểm tra được năng lực và cũng cố được kiến thức.
