Xét tính đúng sai của mệnh đề là dạng bài tập phổ biến nhất trong chương 1 – đại số lớp 10. Để làm tốt dạng bài tập này các bạn cần phải nắm vững kiến thức và ý nghĩa mệnh đề, ngoài ra việc thực hành nhiều bài tập cũng là một lợi thế. Ở bài viết này, VerbaLearn Math sẽ giúp bạn liệt kê ra hàng loạt các kiến thức cùng bài tập của chủ đề này, cùng tìm hiểu dưới đây nhé.
Mục lục1.1. Kiến thức về mệnh đề2.2. Bài tập xét tính đúng sai của mệnh đề
1. Kiến thức về mệnh đề
1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mệnh mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Kí hiệu các mệnh để bởi các chữ in hoa $A$, $B$, $C$…
2. Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề ${\bf{P}}$ là $\overline P $, ta có: $\overline P $ đúng khi $P$ sai và $\overline P $ sai khi ${\bf{P}}$ đúng.
3. Một khẳng định chứa biến $p\left( x \right)$ không phải là một mệnh đề, nhưng với mỗi giá trị của biến x (thuộc một tập x nào đó) ta được một mệnh đề.
4. Kiến thức mệnh đề kéo theo
- Mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu: $P \Rightarrow Q$.
- Với $P$ là một mệnh đề đúng thì:
Nếu $Q$ dúng thì $P \Rightarrow Q$ đúng
Nếu $Q$ sai thì $P \Rightarrow Q$ sai
→ Các định lí toán học thường là những mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$. Khi đó ta nói: $P$ là giả thiết còn $Q$ là kết luận của định lí, hoặc $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ Hoặc $Q$ là điều kiện cần để có $P$. Kiến thức này thường xuyên áp dụng ở hình học hoặc các bài toán chứng minh đại số
5. Lý thuyết về mệnh đề đảo
- Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
- Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói ${\bf{P}}$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$ và đọc là ${\bf{P}}$ tương đương $Q$, hoặc ${\bf{P}}$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$, hoặc ${\bf{P}}$ khi và chỉ khi $Q$.
6. Kí hiệu $\forall $ đọc là “với mọi”. Mệnh đề $x \in X:p\left( x \right)$ là đúng có nghĩa là: với mọi $x$ thuộc tập $x$ mệnh dề $p\left( x \right)$là đúng.
7. Kí hiệu $\exists $ đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).
2. Bài tập xét tính đúng sai của mệnh đề
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào không phải là mệnh đề:
a) ${5^2} + 3 = 10$;
b) $4x + 7 = 5$;
c) $\sqrt 3 – 2\sqrt 2 $là một số hữu ti ;
d) $7 – 1$ là một số quá lớn ;
e) ${x^2} – 2x > 0$.
Câu 2. Hãy phát biểu phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của các phủ định này:
a) $x = 1$ là một nghiệm của phương trình $\frac{{2{x^3} + {x^2} + 3x – 6}}{{{x^2} – 1}} = 0$
Câu 3. Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Lập các mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$, xét tính đúng sai của chúng, trong các trường hợp sau:
a) $P$ = “ABCD là hình thoi” ; $Q{\rm{ }} = {\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}BC$
b) $P$ = “ABCD là hình vuông” ; $Q$ = “ABCD là hình chữ nhật”
c) $P$ = “Hai đường chéo vuông góc với nhau”; $Q$ = “ABCD là hình vuông”
d) $P = BC = CD{\rm{ }};Q = \widehat A = 90^\circ $
Câu 4. Trong bài 1.3. a) hãy phát biểu các mệnh đề được lập ra dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ”.
Trong trường hợp này $P \Leftrightarrow Q$ là đúng hay sai ?
Câu 5. Tìm một giá trị của $x \in $ để mệnh đề $p\left( x \right)$ trở thành mệnh đề đúng với:
a) $p\left( x \right) = {x^2} + 9x – 10 > 0$;
b) $p\left( x \right) = 2x – 7 \ge 3x – 1$
c) $p\left( x \right) = 6x + 2 = 3$;
d) $p\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$.
Câu 6. Tìm một giá trị của $x \in $ để mệnh đề $p\left( x \right)$ trở thành mệnh đề sai với các trường hợp trong bài 5
Câu 7. Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của nó
a) $\forall \Delta ABC:\widehat A + \widehat B + \widehat C = 182^\circ $;
b) $\forall x \in :{x^3} + {x^2} = 0.$;
c) $\exists q \in :q > \pi $;
d) $\exists x \in + :{x^2} > \frac{3}{{{x^2} + 1}}$.
e) $\forall m \in :{m^2} + 3m > 0$
g) $\exists x \in \left[ {0,1} \right]:{x^2} – 4 = 0$.
Câu 8. Dùng các kí hiệu $\forall ,\exists $ để lập các phủ định của các mệnh đề ở bài 7. Phát biểu chúng thành lời và xét tính đúng, sai của chúng.
Đáp án:
Câu 1.
a) Là một mệnh đề vì đó là khẳng định sai.
b) Không phải là mệnh đề (tính đúng sai của khẳng định tuỳ thuộc vào giá trị của x).
c) Là một mệnh đề vì đó là khẳng định sai.
d) Không phải là một mệnh đề
e) Không phải là một mệnh đề (khẳng định phụ thuộc vào giá trị của x).
Câu 2. Phủ định của các mệnh đề tương ứng sẽ là
a) x = 1 không phải là một nghiệm của phương trình $\frac{{2{x^3} + {x^2} + 3x – 6}}{{{x^2} – 1}} = 0$
Mệnh đề này là đúng vì $x = 1$ không thoả mãn điều kiện của phương trình.
b) $\frac{{5 + 21}}{3} \le 9$. Mệnh đề này là đúng
c) ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^2} \ne 6$. Mệnh đề đúng
d) $8 – 3 \ne 5$. Mệnh đề này sai.
Câu 3.
a) $Q \Rightarrow P$ = “Nếu ABCD là hình thoi thì $AB = BC$ “. Mệnh đề đúng.
$Q \Rightarrow P$ = “Nếu $AB = BC$ thì ABCD là hình thoi”. Mệnh đề này đúng (hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau)
b) $P \Rightarrow Q$ = “Nếu ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật”. Mệnh đề này là đúng
$Q \Rightarrow P$ = “Nếu ABCD là hình chữ nhật thì nó là hình vuông”. Mệnh đề sai (có hình chữ nhật không phải là hình vuông).
c) $P \Rightarrow Q$ = “Nếu hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình vuông”. Mệnh đề sai (hình thoi cũng có hai đường chéo vuông góc với nhau)
$Q \Rightarrow P$ = “Nếu ABCD là hình vuông thì các đường chéo của nó vuông góc với nhau “. Mệnh đề này là đúng.
d) $P \Rightarrow Q$ = “Hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau thì nó là hình chữ nhật”. Mệnh đề sai (hình thoi chưa chắc là hình chữ nhật).
$Q \Rightarrow P$ = “Nếu ABCD là hình chữ nhật thì nó là hình thoi”. Mệnh đề sai (không phải hình chữ nhật nào cũng là hình thoi).
Câu 4. a) $P \Rightarrow Q$ có thể phát biểu: “điểu kiện cần để hình bình hành là hình thoi là nó có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” (hoặc “điều kiện đủ để hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là nó là hình thoi”)
$Q \Rightarrow P$ có thể phát biểu: “điều kiện đủ để hình bình hành là hình thoi là nó có hai cạnh liên tiếp bằng nhau” (hoặc “điều kiện cần để hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là nó là hình thoi”)
$Q \Rightarrow P$ có thể phát biểu: “Điều kiện cần và đủ để hình bình hành là hình thoi là nó có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”
Theo Câu 3. a) $P \Leftrightarrow Q$ là đúng.
Câu 5.
a) $x = 2$;
b) $x = – 10$;
c) $x = \frac{1}{6}$;
d) $x = – 1$.
Câu 6.
a) $x = 0$;
b) $x = 0$;
c) $x = 0$;
d) $x = 0$.
Câu 7.
a) Với mọi tam giác tổng các góc trong bằng ${182^0}$. Mệnh đề sai.
b) Với mọi số thực $x$ ta có ${x^3} + {x^2} = 0$. Mệnh đề sai.
c) Có ít nhất một số hữu tỉ: $p > \pi $ Mệnh đề đúng, (chẳng hạn lấy $q = \frac{{24}}{7}$)
d) Tồn lại một số thực không âm $x$ mà ${x^2} > \frac{3}{{{x^2} + 1}}$. Mệnh đề đúng, (chẳng hạn lấy x = 2)
e) Với mọi số nguyên $m$ có: ${m^2} + 3m > 0$. Mệnh đề (chẳng hạn với $m = – 1$ có ${\left( { – 1} \right)^2} + 3\left( { – 1} \right) = – 2 < 0$)
g) Có ít nhất một số thực $x$ thuộc đoạn $\left[ {0,1} \right]$ sao cho ${x^2} – 4 = 0$. Mệnh đề (${x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = – 2
\end{array} \right.$ không thuộc đoạn $\left[ {0;1} \right]$
Câu 8. Phủ định của các mệnh đề ở Câu 7.
a) $\exists \Delta ABC:\widehat A + \widehat B + \widehat C \ne {182^0} = $ “có ít nhất một tam giác với tổng các góc trong khác 182°”. Đây là mệnh đề đúng.
b) $\exists x \in :{x^3} + {x^2} \ne 0 = $ “Tồn tại số thực $x$ sao cho ${x^3} + {x^2} \ne 0$”. Mệnh đề đúng (chẳng hạn lấy $x = 1$)
c) $\forall q \in :q \le \pi = $ “mọi số hữu tỉ đều không lớn hơn $\pi $”. Mệnh đề này là sai.
d) $\forall x \in + :{x^2} \le \frac{3}{{{x^2} + 1}} = $ “Với mọi số thực $x$ có ${x^2} \le \frac{3}{{{x^2} + 1}}$”. Mệnh đề này sai.
e) $\forall m \in :{m^2} + 3m \le 0 = $ “Có ít nhất một số nguyên $m$ sao cho ${m^2} + 3m \le 0$”. Mệnh đề này đúng.
g) $\forall x \in \left[ {0;1} \right]:{x^2} – 4 \ne 0 = $ “Mọi số thực $x$ trong đoạn [0; 1] đều thoả mãn ${x^2} – 4 \ne 0$” Mệnh đề này dúng.
Xem thêm các bài thuộc chương trình toán 10→ Mệnh đề toán 10→ Bài tập logic mệnh đề có lời giải→ Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học→ Bài tập mệnh đề và tập hợp có đáp án
Qua bài viết trên, VerbaLearn Math vừa trình bày đến bạn đọc một số bài tập rất quan trọng về xét tính đúng sai của mệnh đề. Đây có thể coi là dạng bài nền tảng và quan trọng nhất trong chương trình mệnh đề của toán học lớp 10.
