Đại cương về phương trình & bài tập phương trình

Có thể nói rằng phương trình là một chủ đề hay và khó, được khai thác nhiều trong các kì thi đại học và cao đẳng và đặc biệt là các kì thi học sinh giỏi. Đây là một dạng bài tập mang tính phân loại học sinh khá tốt. Ở bài học này, Verbalearn Math sẽ giúp các bạn làm quen thông qua một số kiến thức đại cương về phương trình.

Mục lục1.Khái niệm phương trình2.Phương trình tương đương và phương trình hệ quả3.Các dạng phương trình đơn giản4.Một số phương pháp giải phương trình nâng cao

Khái niệm phương trình

Chắc hẳn khái niệm phương trình sẽ là điểm kiến thức đơn giản nhất. Nhưng đây là chìa khóa giúp việc giải phương trình được tuân thủ theo một định hướng nhất định. Dù đề bài có được biến đổi như thế nào.

1. Phương trình một ẩn

Phương trình một ẩn $x$ là phương trình có dạng như sau: $f(x) = g(x)(1)$

Trong đó:

• $f(x),g(x)$ là những biểu thức của phương trình
• ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0}) = g({x_0})$ là nghiệm của phương trình
• $D$ là tập xác định của phương trình, cũng chính là điều kiện của $x$
• Tập hợp $S$ gồm các giá trị của ${x_0}$ được gọi là tập hợp nghiệm của phương trình
• $S = \emptyset $ tức phương trình vô nghiệm

2. Điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình ẩn $x$ chính là điều kiện của $x$ để $f(x),g(x)$ có nghĩa. Bạn có thể tìm hiểu kiến thức này ở phần điều kiện xác định của hàm số.

3. Phương trình nhiều ẩn

Phương trình nhiều ẩn là dạng phương trình: $f(x,y) = g(x,y),…$. Thông thường sẽ rất ít gặp loại phương trình này, nếu có thì với một số phép biến đổi sẽ quay về phương trình dạng 1 ẩn.

4. Phương trình chứa tham số

Giải và biện luận phương trình chứa tham số là dạng bài tập thường xuyên xuất hiện với nhiều mức độ khác nhau. Ở dạng bài tập này, ta cần xác định với giá trị hoặc khoảng giá trị nào của tham số sẽ giúp cho phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó chính xác nhất.

Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Hệ quả: Hai phương trình vô nghiệm thì tương tương.

2. Phương trình hệ quả

Trong trường hợp tất cả các nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ đều là nghiệm của phương trình ${f_1}(x) = {g_1}(x)$. Khi đó ta nói phương trình ${f_1}(x) = {g_1}(x)$ là phương trình hệ quả của $f(x) = g(x)$. Kí hiệu như sau:

$f(x) = g(x) \Rightarrow {f_1}(x) = {g_1}(x)$

Lưu ý:

• Để giải một phương trình hệ quả ta tiến hành các phép biến đổi tương đương
• Phép bình phương hai vế, nhân hai vế với một đa thức → có thể dẫn đến phương trình hệ quả

Dựa vào các điều kiện phụ về tập nghiệm hoặc phép thử lại ta có thể xác định được nghiệm chính xác của phương trình hệ quả.

Các dạng phương trình đơn giản

1. $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = 0}\\{B = 0}\end{array}} \right.$

2. $\sqrt A .\sqrt A = 0$

3. $\sqrt A = 0 \Leftrightarrow A = 0$

Một số phương pháp giải phương trình nâng cao

Trong chương trình toán THPT, học sinh có thể gặp những phương trình nâng cao với nhiều cách giải khác nhau. Các dạng phương trình có thể ứng dụng ở cả những kì thi trắc nghiệm hoặc tự luận. Dưới đây là một số dạng phương trình tiêu biểu:

• Phương trình bậc nhất
• Giải phương trình bậc 2
• Giải phương trình bậc 3
• Giải phương trình bậc 4
• Tìm m để phương trình có nghiệm
• Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
• Đối phương trình nghiệm nguyên
• Phương trình trùng phương

Bài học hôm nay, Verbalearn Math vừa giới thiệu đến các bạn học sinh một số kiến thức nền tảng trước khi tiếp xúc với phương trình. Mặc dù chỉ là những kiến thức đại cương về phương trình, nhưng nó rất cần thiết nếu bạn muốn hiểu rõ và thuần thục các bài toán khó hơn.