Gải Phương Trình Bậc 2

Mục lục1.Lý thuyết phương trình bậc 22.Ví dụ giải phương trình bậc 23.Một số kĩ năng cần có sau khi xử lí phương trình bậc hai4.Bài tập giải phương trình bậc 2

Lý thuyết phương trình bậc 2

Chắc chắn rằng đây sẽ là vấn đề đơn giản với nhiều bạn học sinh. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai sẽ là “chìa khóa” cho việc giải phương trình bậc hai:

Giải phương trình trên tập số thực: $a{x^2} + bx + c = 0$ (*) $\left( {a \ne 0} \right)$. Xét biệt thức $\Delta = {b^2} – 4ac$.

+) Nếu $\Delta < 0$ 0 thì (*) vô nghiệm.

+) Nếu $\Delta = 0$ thì (*) có nghiệm kép ${x_{12}} = \frac{{ – b}}{{2a}}$

+) Nếu $\Delta > 0$ thì (*) có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ và ${x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}}$

Với các hệ số thực $a,b,c\left( {a \ne 0} \right)$ thì việc “bấm máy tính” đã trở nên rộng rãi, vậy nên việc giải phương hình bậc hai (ở chương trình Trung học phổ thông (THPT)) cũng trở nên đơn giản bằng một phép biến đổi tương đương.

Ví dụ giải phương trình bậc 2

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) $3{x^2} + 5x – 9 = 0$

b) $\frac{{{x^2}}}{2} – 9x + \frac{{47}}{3} = 0$

c) $2{x^2} – 6x + 9 = 0$

d) $3{x^2} + 2x + 1 = 0$

Giải:

a) $3{x^2} + 5x – 9 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {133} }}{6}$

b) $\frac{{{x^2}}}{2} – 9x + \frac{{47}}{3} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{27 \pm \sqrt {447} }}{3}$

c) $2{x^2} – 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

d) Phương trình vô nghiệm.

Như vậy ta thấy việc giải phương trình bậc hai với hệ số là số nguyên hoặc là các phân thức thì với máy tính bỏ túi, chỉ cần vài giây nhập phương hình là bạn đã có kết quả!

Ở đây, ta chỉ lưu ý cách giải phương trình bậc hai “thủ công” và một số mẹo biến đổi nhóm bình phương:

$\left( * \right) \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4a}}$

Biến đổi dạng này được sử dụng hiệu quả khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai, hoặc đối với các phương trình bậc hai có hệ số “không được đẹp”, lúc mà việc “bấm máy tính” của chúng ta “gặp vấn đề” khi nghiệm quá lẻ, tức là nghiệm biển thị trong máy tính không ở dạng chính xác. Ví dụ:

Ví dụ 2: Giải phương trình ${x^2} + 2\sqrt 2 x + \sqrt 3 = 0$.

Giải:

${x^2} + 2\sqrt 2 x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = 2 – \sqrt 3 \Leftrightarrow x = – \sqrt 2 \pm \sqrt {2 – \sqrt 3 } $

Khi có “kết quả” thì ta nên kiểm tra căn thức $\sqrt {2 – \sqrt 3 } $ có rút gọn được nữa hay không. Thật vậy, sử dụng một tí thủ thuật nhóm tách, ta được:

$\sqrt {2 – \sqrt 3 } = \sqrt {\frac{{4 – 2\sqrt 3 }}{2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{2}$

Vậy nên nghiệm của phương trình được biểu diễn dưới dạng đẹp hơn:

${x_1} = \frac{{ – \sqrt 2 – \sqrt 6 }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{ – 3\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2}$

Lưu ý: Các bước làm này chúng ta chỉ thực hiện ngoài nháp, còn việc trình bày thì ta chỉ đơn giản là “ghi kết quả” vào mà thôi:

Một số bạn sẽ thắc mắc tại sao lại có thể tách được $\sqrt {2 – \sqrt 3 } $ thành dạng đẹp hơn như vậy. Điều này thì cần một chút kĩ năng nhẩm: Với căn thức dạng $\sqrt {x \pm 2\sqrt y } $ ($x,y$ là các số tự nhiên), ta kiểm tra bằng cách nhẩm tìm các ước đương của $y$, ví dụ tìm được $y = zt$ chẳng hạn, trong đó ${z^2} + {t^2} = x$ thì việc nhóm hằng đẳng thức là không khó:

$\sqrt {x \pm 2\sqrt y } = \sqrt {{z^2} + {t^2} \pm 2t} = \sqrt {{{\left( {\sqrt z \pm \sqrt t } \right)}^2}} = \left| {\sqrt z \pm \sqrt t } \right|$

Với $z,t$ là các số dương xác định thì hoàn toàn có thể phá được dấu trị tuyệt đối trên.

Thấy $\sqrt {2 – \sqrt 3 } $ thì thấy hệ số trước ${\sqrt 3 }$ là $\left( { – 1} \right)$, không là số chẵn nên ta mới nhân 2 lên để xuất hiện dạng căn thức $\sqrt {x \pm 2\sqrt y } $.

Ví du 3: Giải phương trình ${x^2} + 3x = \sqrt 5 $.

Giải: Với phương trình này thì sử dụng máy tính bỏ túi chỉ cho ta kết quả ở dạng số thập phân, nên ta cũng phải “tính tay” ngoài nháp đối với bài này.

${x^2} + 3x = \sqrt 5 \Leftrightarrow {x^2} + 2x.\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{9}{4} + \sqrt 5 $

$ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9 + 4\sqrt 5 }}{4} = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 – \sqrt 5 }}{2} \vee x = \frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}$

Nhận xét:

Thực chất của việc rút gọn căn thức dạng $\sqrt {x \pm 2\sqrt y } $ đó là rút gọn ${\sqrt \Delta }$. Thật Vậy, ở Vú dụ 2 thì $\sqrt \Delta = \sqrt {2 – \sqrt 3 } $ (cần rút gọn $\sqrt {2 – \sqrt 3 } $), ở Ví dụ 3 thì $\sqrt \Delta = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } $. Vậy nên nếu bạn không muốn sử dụng biến đổi nhóm bình phương thì bạn có thể sử dụng công thức nghiệm để tìm nghiệm (tất nhiên nên chú ý $\sqrt \Delta $ có rút gọn được không).

Một số kĩ năng cần có sau khi xử lí phương trình bậc hai

1. Kĩ năng phân tích tam thức thành nhân tử

Kĩ năng nậy chủ yếu được giới thiệu cho các em THCS, khi đang học phấn “phân tích đa thức thành nhân tử”. Kĩ năng này khá quan trọng với các em, khi mà khá nhiều em thắc mắc rằng tại sao lại có thể phân tích nhân tử ví dụ như:

${x^2} – 7x + 12 = \left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)$ hay $2{x^2} – x – 15 = \left( {2x + 5} \right)\left( {x – 3} \right)$.

Giả sử tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có nghiệm ${x_1},{x_2}$.

Lúc đó, ta có thể phân tích thành dạng nhân tử $f\left( x \right) = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$.

Đặc biệt, nếu ${x_1} = {x_2}$ (nghiệm kép) thì $f\left( x \right) = a{\left( {x – {x_{12}}} \right)^2}$.

Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $f\left( x \right) = {x^2} – 7x + 12$.

b) $g\left( x \right) = – 2{x^2} + x + 15$.

c) $h\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + 2$.

d) $k\left( x \right) = 3{x^2} – 3x – 1$.

Giải:

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, ta có hai nghiệm của$f\left( x \right)$ là ${x_1} = 3$ và ${x_2} = 4$, đồng thời hệ số $a = 1$ nên ta có:

$f\left( x \right) = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)$.

Với các bạn học sinh THPT thì việc tách nhân tử như thế này là quá đơn giản, thế nhưng với các em học sinh THCS thì khi biết được “kết quả” rồi thì việc suy ngược lại cách làm sẽ rất đơn giản (đây là điều mà tôi thắc mắc nhiều nhất hồi vừa học phân tích nhân tử, khi mà các bạn của tôi chỉ đơn giản dùng máy tính và làm mượt các bài phân tích nhân tử):

$\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) = \left( {x – 3} \right)x – 4\left( {x – 3} \right)$

$ = \left( {{x^2} – 3x} \right) – \left( {4x – 12} \right) = {x^2} – 7x + 12$.

Đây là cách phân tích ngoài nháp, còn việc phân tích nhân tử thì chúng ta lại “ghi ngược” quá trình trên:

/$f\left( x \right) = {x^2} – 7x + 12 = \left( {{x^2} – 3x} \right) – \left( {4x – 12} \right) = \left( {x – 3} \right)x – 9\left( {x – 3} \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)$

b) Sử dụng máy tính bỏ túi, ta có hai nghiệm của $g\left( x \right)$ là ${x_1} = 3$ và ${x_2} = \frac{{ – 5}}{2}$ đồng thời hệ số $a = – 2$ $ \Rightarrow g\left( x \right) = – 2\left( {x – 3} \right)\left( {x – \frac{{ – 5}}{2}} \right) = \left( {3 – x} \right)\left( {2x + 5} \right)$

c) $h\left( x \right)$ có nghiệm duy nhất ${x_{12}} = 2$ và hệ số $a = \frac{1}{2} \Rightarrow h\left( x \right) = \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}$.

d) $k\left( x \right)$ có hai nghiệm là ${x_1} = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}$ và ${x_2} = \frac{{3 – \sqrt {21} }}{6}$, hệ số $a = 3$

$ \Rightarrow k\left( x \right) = 3\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = 3\left( {x – \frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}} \right)\left( {x – \frac{{3 – \sqrt {21} }}{6}} \right)$

Nhận xét: Thường thì ta chỉ sử dụng phân tích nhân tử khi mà nghiệm của tam thức bậc hai là “nghiệm đẹp”. Khi nghiệm chứa căn thì dạng nhân tử có dạng khá cồng kềnh, không hề đẹp mắt. Kĩ năng này sẽ được sử dụng thường xuyên sau này trong các phương trình vô tỷ, vậy nên các bạn cần phải nắm vững!

Một nhận xét quan trọng hơn, đó là:

Khi tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có biệt thức $\Delta = 0$ (tức có nghiệm kép ${x_0}$) thì $f\left( x \right)$ là một bình phương đúng: $f\left( x \right) = a{\left( {x – x{_o}} \right)^2}$.

Hãy ghi nhớ nhận xét này, điều này sẽ là “mâu chốt” khi giải một số phương trình bậc 4, và sau này có móc nối với cả phần phương trình vô tỷ, và cả phần hệ phương trình nữa!

2. Kĩ năng nhóm bình phương

Đây là một kĩ năng cơ bản, thế nhưng để các bạn khỏi thắc mắc về một số biến đổi sau này được sử dụng trong khi giải phương trình bậc 4, cũng như việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai,… một cách thuận lợi nhất thì tôi sẽ dành một mục nhỏ cho phần này.

Tổng quát: Nhóm bình phương đa thức: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Lời giải:

$f\left( x \right) = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c = a\left[ {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} \right] + c – \frac{{{b^2}}}{{4a}}$

$ = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}$

Định hướng chung của các bước nhóm trên là như sau:

– Bước 1: Đưa a ra làm nhân tử chung, đưa ${{x^2}}$ và $x$ vào ngoặc.

– Bước 2: Tách $\frac{b}{a} = 2.\frac{b}{{2a}}$ và cộng thêm một lượng trong ngoặc vuông, đồng thời ở ngoài thì trừ đi $\frac{{{b^2}}}{{4a}}$ (lấy một lượng là a$a.{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}$ cho vào ngoặc vuông thì ngoài ngoặc vuông phải “trả lại” một lượng đúng bằng $a.{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4a}}$.

– Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức.

Nhận xét: $f\left( x \right) = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} – \frac{\Delta }{{4a}}$

Để nhóm bình phương nhanh hơn thì ta có thể ghi nhớ biến đổi này. Từ biến đổi này có thể suy ra:

– Nếu $a > 0$ thì $f\left( x \right) \ge a.0 – \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{ – \Delta }}{{4a}}$, dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – b}}{{2a}}$

– Nếu $a < 0$ thì $f\left( x \right) \le a.0 – \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{ – \Delta }}{{4a}}$ dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – b}}{{2a}}$

Ví dụ 5: Nhóm bình phương các biểu thức:

a) $f\left( x \right) = {x^2} – 7x + 12$.

b) $g\left( x \right) = – 2{x^2} + x + 15$.

c) $h\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + 2$

Giải:

a) $f\left( x \right) = \left[ {{x^2} – 2x.\frac{7}{2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2}} \right] + 12 – {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} = {\left( {x – \frac{7}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4}$

b) $g\left( x \right) = – 2\left( {{x^2} – \frac{x}{2}} \right) + 15 = – 2\left[ {{x^2} – 2x.\frac{1}{4} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} \right] + 15 + 2.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = – 2{\left( {x – \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{121}}{8}$

c) $h\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + 2 = \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 4x + 4} \right) = \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}$.

Nhân xét: Từ việc nhóm bình phương như thế này, chúng ta có thể tìm được giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của các tam thức, tùy vào dấu của hệ số $a$, cụ thể:

– Nếu $a > 0$ thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất của tam thức: $f\left( x \right) \ge \frac{{ – 1}}{4};h\left( x \right) \ge 0$.

– Nếu $a < 0$ thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất của tam thức: $g\left( x \right) \le \frac{{121}}{8}$.

Với các bạn đang học chương hình THCS vừa mới làm quen với kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thì việc trình bày dựa vào nhóm bình phương như thế này là khá phổ biến. Còn với các bạn học sinh THPT thì việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai thì việc này quá đơn giản!

3. Kĩ năng chứng minh phương trình bậc hai có nghiêm

Để chứng minh một phương trình bậc hai đơn thuần vô nghiệm thì quá đơn giản, ta chỉ cần chỉ ra biệt thức $\Delta < 0$. Thế nhưng tôi lại muốn đề cập ở đây đó là sự kết hợp với kĩ thuật nhóm bình phương trong việc chứng minh bất phương trình vô nghiệm: Ở trong một số bài toán thì ta không chỉ đơn thuần chỉ xử lí những phương trình chứa các tam thức bậc hai, mà còn có thể chứa căn,… $ \to $ ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm thì việc đưa $\Delta < 0$ vào sẽ làm lời giải trở nên dài dòng hơn, ví dụ, ta cần chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:

a) $2{x^2} + x + 1 + \sqrt {x + 3} = 0$.

b) ${x^2} + 5x + 9 + \sqrt {3 – {x^2}} = 0$.

Hãy so sánh hai lời giải sau đây và rút ra nhận xét:

a) Điều kiện: $x \ge – 3$.

Lời giải 1.a: Tam thức ${x^2} + 5x + 9$ có biệt thức $\Delta < 0$ và hệ số $a = 2 > 0$ nên $2{x^2} + x + 1 > 0$. Đồng thời $\sqrt {x + 3} > 0$ nên:

$2{x^2} + x + 1 + \sqrt {x + 3} > 0 \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

Lời giải 2.

a) Ta có:

$2{x^2} + x + 1 + \sqrt {x + 3} = 2{\left( {x + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} + \sqrt {x + 3} > 0 \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện: $\left| x \right| \le \sqrt 3 $.

Lời giải l.b: Tam thức ${x^2} + 5x + 9$ có biệt thức $\Delta = – 11 < 0$ và hệ số $a = 1 > 0$ nên tam thức giá trị nhỏ nhất là $\frac{{ – \Delta }}{{4a}} = \frac{{11}}{4} \Rightarrow {x^2} + 5x + 9 – \sqrt {3 – {x^2}} \ge \frac{{11}}{4} – \sqrt {3 – 0} > 0 \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

Lời giải

2b):

Ta có: ${x^2} + 5x + 9 – \sqrt {3 – {x^2}} = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} – \sqrt 3 > 0 \Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

Rõ ràng trong các trường hợp này thì việc nhóm bình phương để chứng minh phương trình vô nghiệm tỏ ra hiệu quả hơn trong cách trình bày.

Bài tập giải phương trình bậc 2

1. Phần bài tâp

Giải các phương trình sau trên tập số thực:

a) ${\left( {x + 1} \right)^3} = 56 + {(x – 1)^3}$.

b) $6{x^2} + 7x\sqrt 2 + 6 = 5\left( {2x + \sqrt 2 } \right)$

c) $4{x^2} = 4x\sqrt 5 + \frac{5}{4}$.

d) ${x^2} + \left| {x – 1} \right| = 2x + 1$.

e) $\left( {\sqrt 3 – 1} \right)x – \frac{8}{x} = 4$

f) $\frac{{x + 2}}{{2x + 3}} – \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = \frac{{ – 4}}{9}$

2. Lời giải và đáp số

a) Khai triển và chuyển vế ta được phương trình tương đương:

$6{x^2} + 24x – 30 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = – 5$.

b) Biến đổi tương đương: $6{x^2} + \left( {7\sqrt 2 – 10} \right)x + 6 – 5\sqrt 2 = 0$.

Phương trình có biệt thức:

$\Delta = 54 – 20\sqrt 2 = {\left( {10\sqrt 2 – 2} \right)^2} \Rightarrow \sqrt \Delta = 10\sqrt 2 – 2$.

Đáp số: $x = 1 – \sqrt 2 $ và $x = \frac{{4 – \sqrt 2 }}{6}$.

c) Đáp số: $x = \frac{{2\sqrt 5 \pm 5}}{4}$

d) Thực hiện chuyển vế: ${\left( {x – 1} \right)^2} + \left| {x – 1} \right| – 2 = 0$.

Đặt $t = \left| {x – 1} \right| \ge 0$ thì phương trình trở thành:

${t^2} + t – 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (thỏa mãn) $ \vee t = – 2$ (loại).

Với $t = 1 \Rightarrow \left| {x – 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x – 1 = \pm 1 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2$.

e) Điều kiện: $x \ne 0$.

Chuyển vế thu được phương trình có biệt thức:

$\Delta ‘ = 8\sqrt 3 – 4 \Rightarrow \sqrt {\Delta ‘} = 2\sqrt {x\sqrt 3 – 1} $ (Không rút gọn được nữa)

Đáp số: $x = \frac{{2 \pm 2\sqrt {2\sqrt 3 – 1} }}{{\sqrt 3 – 1}}$

f) Điều kiện: $x \ne – 2$ và $x \ne \frac{{ – 3}}{2}$. Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương:

$\frac{{x + 2}}{{2x + 3}} – \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = \frac{{ – 4}}{9} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} – \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ – 4}}{9}$

$ \Leftrightarrow \frac{{7 – 3{x^2}}}{{2{x^2} + 7x + 6}} = \frac{{ – 4}}{9} \Leftrightarrow 9\left( {7 – 3{x^2}} \right) = – 4\left( {2{x^2} + 7x + 6} \right)$

$ \Leftrightarrow 19{x^2} – 28x – 87 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = \frac{{ – 29}}{{19}}$