Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số phổ biến với nhiều biến thể khác nhau. Có những bài toán tưởng chừng như bậc cao nhưng chỉ với một phép đặt ẩn phụ bạn có thể đưa về loại bậc nhất. Hãy tham khảo các ví dụ trong bài viết này để có được tư duy giải hệ phương trình tốt nhất.
Mục lục1.Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn2.Bài tập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn3.Kết luận
Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Nội dung phương pháp
Ta đã biết một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.$ luôn giải được bằng phép thế hoặc thông qua công thức Định thức $x = \frac{{{D_x}}}{D},y = \frac{{{D_y}}}{D}$ với $D \ne 0$ trong đó: $\begin{array}{*{20}{c}}{D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|,}&{{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{b_1}}\\{{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|,}&{{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right|}\end{array}$
Nếu tinh ý quan sát hệ phương trình ta có thể đưa 1 hệ phương trình phức tạp về hệ bậc nhất hai ẩn như trên và ta sử dụng công thức nghiệm để giải.
2. Dấu hiện nhận biết phương pháp
+ Các phương trình của hệ chỉ là phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 của một ẩn $x$ và $y$.
+ Có 1 nhân tử lặp lại ở cả 2 phương trình của hệ và các thành phần còn lại chỉ có dạng bậc nhất của $x$ và $y$ (1 căn thức; 1 biểu thức của $x$ và $y$).
+ Có 2 nhân tử lặp lại ở cả 2 phương trình của hệ (có 2 căn thức; 2 biểu thức của $x$ và $y$).
Để rõ hơn bạn đọc theo dõi các ví dụ trình bày dưới đây chắc chắn sẽ hình thành kỹ năng nhận diện hệ phương trình được giải bằng kỹ thuật này.
Chú ý. Trong chương 1 các bài toán về hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát tôi đã trình bày kỹ thuật này.
Cần nhấn mạnh thêm rằng phương pháp này giúp ta giải quyết được bài toán khi nhận biết được hệ bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên có 1 thực tế rằng đối với 1 số hệ phương trình sẽ yêu cầu bạn đọc tính toán khá nặng. Do vậy mục đích của bài viết là cung cấp thêm cho bạn đọc 1 kỹ thuật để giải hệ. Nhìn hệ phương trình dưới con mắt linh hoạt hơn và tư duy suy nghĩ ta sẽ có thêm các cách giải hay khác nhau.
Bài tập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 4 + 2 = – 3\\{x^2} + {y^2} – xy + x – 2y = 12\end{array} \right.$
Lời giải
Phân tích tìm lời giải:
Cả hai phương trình của hệ có dạng phương trình bậc 2 của $x$ hoặc của $y$. Vì vậy ta có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Ta có thể coi $x$ là tham số hoặc $y$ là tham số. Lời giải dưới đây ta coi $x$ là tham số.
Đặt $a = {y^2},b = y$ hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = – {x^2} + 4x – 3\\a – \left( {x + 2} \right)b = – {x^2} – x + 12\end{array} \right.$
Coi đây là phương trình bậc nhất hai ẩn $a$ và $b$ khi đó
Hệ này hệ số của $a$ và $b$ khá đơn giản nên ta dùng phương pháp thế:
Trừ theo vế hai phương trình của hệ suy ra: $\left( {x + 4} \right)b = 5\left( {x – 3} \right)$
$ \Rightarrow b = \frac{{5\left( {x – 3} \right)}}{{x + 4}}$ (vì $x = – 4$ không thoả mãn hệ phương trình).
$a = \frac{{ – {x^3} + 3x + 18}}{{x + 4}};b = \frac{{5\left( {x – 3} \right)}}{{x + 4}}$
Mặt khác: $a = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{ – {x^3} + 3x + 18}}{{x + 4}} = 25{\left( {\frac{{x – 3}}{{x + 4}}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 51} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1; – 2} \right);\left( {3;0} \right)$.
Còn nhiều cách giải khác cho 1 hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát đã trình bày trong chương trước.
Bài 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^4} + 4{x^2} + {y^2} – 4y = 2\\{x^2}y + 2{x^2} + 6y = 23\end{array} \right.$
Lời giải
Nhận xét. Coi $x$ là tham số và $y$ là ẩn thì rõ ràng cả 2 phương trình của hệ có dạng bậc 2 và bậc 1 của $y$.
Đặt $t = {y^2}$ hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}t – 4y = 2 – {x^4} – 4{x^2}\\\left( {{x^2} + 6}\right)y = 23 – 2{x^2}\end{array} \right.$
Ta coi hệ phương trình trên là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $t$ và $y$ ta được:
$\begin{array}{*{20}{c}}{D = {x^2} + 6;}&{{D_t} = – {x^6} – 10{x^4} – 30{x^2} + 104;}&{{D_y}}\end{array} = 23 – 2{x^2}$
Suy ra: $t = {y^2} \Rightarrow \frac{{{D_t}}}{D} = {\left( {\frac{{{D_y}}}{D}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6} \right)\left( { – {x^6} – 10{x^4} – 30{x^2} + 104} \right) = {\left( {23 – 2{x^2}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {{x^4} + 16{x^2} + 95} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 3\\x = – 1 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( { – 1;3} \right);\left( {1;3} \right)$
Nhận xét. Ta hoàn toàn dùng phép thế cho hệ phương trình trên bằng cách rút $y = \frac{{23 – 2{x^2}}}{{{x^2} + 6}}$ từ phương trình thứ hai của hệ và thế vào phương trình đầu của hệ ta có kết quả tương tự
Bài 3. (TSĐH Khối A 2008) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y + {x^3}y + x{y^2} + xy = \frac{{ – 5}}{4}\\{x^4} + {y^2} + xy\left( {1 + 2x} \right) = \frac{{ – 5}}{4}\end{array} \right.$
Lời giải
Nhận xét. Lời giải tham khảo và đáp án chính thức sử dụng ẩn phụ khá đơn giản. Nhìn nhận cả 2 phương trình của hệ là phương trình bậc 2 của $y$. Vì vậy theo dấu hiệu đã biết ta hoàn toàn đưa được hệ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Viết lại hệ phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x{y^2} + \left( {{x^3} + x + 1} \right)y = – {x^2} – \frac{5}{4}\\{y^2} + \left( {2{x^2} + x} \right)y = – {x^4} – \frac{5}{4}\end{array} \right.$
Đặt $a = {y^2},b = y$ hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}xa + \left( {{x^3} + x + 1} \right)b = – {x^2} – \frac{5}{4}\\a + \left( {2{x^2} + x} \right)b = – {x^4} – \frac{5}{4}\end{array} \right.$
Ta có $D = x\left( {2{x^2} + x} \right) – \left( {{x^3} + x + 1} \right) = {x^3} + {x^2} – x – 1 = \left( {x – 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}$
+ Nếu $x = 1 \Rightarrow y = – \frac{3}{2}$
+ Nếu $x = – 1$ thay vào hệ ban đầu ta thấy vô nghiệm
Tính tiếp ${D_x},{D_y}$ ta tìm được:
$\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{4{x^6} + 4{x^5} + 8{x^4} + 4{x^3} + 5{x^2} – 5x – 5}}{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};}&{b = – \frac{{4{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} + 5}}{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}\end{array}$
với $\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0$
Mặt khác:
$a = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{4{x^6} + 4{x^5} + 8{x^4} + 4{x^3} + 5{x^2} – 5x – 5}}{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{{4{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} + 5}}{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 2x + 3} \right)^2}\left( {4{x^3} – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{5}{4}}} \Rightarrow y = – \sqrt[3]{{\frac{{25}}{{16}}}}$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1; – \frac{3}{2}} \right);\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{4}}}; – \sqrt[3]{{\frac{{25}}{{16}}}}} \right)$
Xem thêm lời giải đặt ẩn phụ trong chủ đề kỹ thuật ẩn phụ đại số
Bài 4. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {2 – y} \right) = \left( {1 – 2y} \right)\left( {1 + xy} \right)\\\left( {x – y} \right)\left( {3 – x} \right) = \left( {1 – 2x} \right)\left( {1 – xy} \right)\end{array} \right.,\left( {x,y \in R} \right)$
Lời giải
Nhận xét. Sau khi khai triển ta đưa về một hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát. Vậy áp dụng kỹ thuật đưa về hệ bậc nhất hai ẩn ta được:
Viết lại hệ phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2x\left( {{y^2} – y + 1} \right) = {y^2} – 4y + 1\\2x\left( {y + 3} \right) = \left( {3y + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{y^2} – 4y + 1}}{{2\left( {{y^2} – y + 1} \right)}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{2.\frac{{{y^2} – 4y + 1}}{{2\left( {{y^2} – y + 1} \right)}}\left( {y + 3} \right) – \left( {3y + 1} \right)\left( {{{\left( {\frac{{{y^2} – 4y + 1}}{{2\left( {{y^2} – y + 1} \right)}}} \right)}^2} + 1} \right) = 0}&{^{\left( 1 \right)}}\end{array}\end{array} \right.$
Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 11{y^5} – 35{y^4} + 110{y^3} – 70{y^2} + 55y – 7 = 0$
Để giải phương trình đa thức trên ta đặt $y = \frac{{v – 1}}{{v + 1}}$ và sau khi rútt gọn đưa phương trình về dạng: $2{v^5} – 9 = 0 \Leftrightarrow v = \sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} – 1}}{{\sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} + 1}}$
Thay ngược lại ta tìm được $x = \frac{{\sqrt[5]{{12}} – 1}}{{\sqrt[5]{{12}} + 1}}$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{\sqrt[5]{{12}} – 1}}{{\sqrt[5]{{12}} + 1}};\frac{{\sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} – 1}}{{\sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} + 1}}} \right)$
Nhận xét. Câu hỏi đặt ra là tại sao nghĩ đến việc giải phương trình đa thức bậc 5 như trên bằng phép đặt $y = \frac{{v – 1}}{{v + 1}}$. Để làm rõ điều này trước hết ta xét cách khác cho bài toán như sau:
Với $\left( {{x^2}{y^2} – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {y – 2} \right) \ne 0$ viết lại hệ phương trình dưới dạng $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{{1 + xy}} = \frac{{1 – 2y}}{{2 – y}}\\\frac{{x – y}}{{1 – xy}} = \frac{{1 – 3x}}{{3 – x}}\end{array} \right.$
Đặt $x = \frac{{u – 1}}{{u + 1}};y = \frac{{v – 1}}{{v + 1}}$ hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{u – v}}{{u + v}} = \frac{{2 – u}}{{u + 2}}}&{^{\left( 1 \right)}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{uv – 1}}{{uv + 1}} = \frac{{3 – v}}{{3 + v}}}&{^{\left( 2 \right)}}\end{array}\end{array} \right.$
Từ $\left( 1 \right)$ kết hợp với tính chất của tỷ lệ thức ta có: $\frac{{u – v}}{{u + v}} = \frac{{2 – u}}{{u + 2}} = \frac{{2 – v}}{{2 + v + 2u}} = \frac{{2 + v – 2u}}{{2 – v}}$
$ \Rightarrow {\left( {2 – v} \right)^2} = {\left( {2 + v} \right)^2} – 4{u^2} \Leftrightarrow {u^2} = 2v$
Tương tự, từ $\left( 2 \right)$ ta có: $\frac{{uv – 1}}{{uv + 1}} = \frac{{3 – v}}{{3 + v}} = \frac{{3u – 3uv}}{{3u + 3uv}} = \frac{{3u – 1}}{{3u + 1 + 2uv}} = \frac{{3u + 1 – 2uv}}{{3u – 1}}$
$ \Rightarrow {\left( {3u – 1} \right)^2} = {\left( {3u – 1} \right)^2} – 4{u^2}{v^2} \Leftrightarrow {u^2}{v^2} = 3u$
Vậy ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{u^2} = 2v\\{u^2}{v^2} = 3u\end{array} \right.$
Xét $u = 0 \Rightarrow v = 0 \Rightarrow x = y = – 1 \Rightarrow xy = 1$ (Loại, do $1 – xy \ne 0$)
Vậy $u.\frac{{{4^4}}}{4} = 3 \Leftrightarrow u = \sqrt[5]{{12}} \Rightarrow v = \sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt[5]{{12}} – 1}}{{\sqrt[5]{{12}} + 1}},y = \frac{{\sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} – 1}}{{\sqrt[5]{{\frac{9}{2}}} + 1}}$
Đây là một hệ được xây dựng một cách khá đặc biệt. Nguyên do đâu ta có phép đặt trên và cơ sở bào xây dựng dạng hệ trên? Câu trả lời xin nhường cho bạn đọc.
Để áp dụng, bạn đọc rèn luyện qua bài toán tương tự sau:
Ví dụ. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{{1 + xy}} = \frac{{1 – 3y}}{{3 – y}}\\\frac{{x – y}}{{1 – xy}} = \frac{{1 – 5x}}{{5 – x}}\end{array} \right.$
Bài 5. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\sqrt {2xy + 5} = 4xy – 3y + 1\\\left( {x + 2y} \right)\sqrt {2xy + 5} = 6xy + x – 7y + 6\end{array} \right.,\left( {x,y \in R} \right)$
Lời giải
Phân tích tìm lời giải:
Chú ý căn thức $\sqrt {2xy + 5} $ và cả hai phương trình của hệ có chứa thêm đại lượng $4xy,6xy$ hoàn toàn biểu diễn được theo căn thức trên và các thành phần còn lại đều dạng bậc nhất của $x$ và $y$. Vì vậy nếu coi $n = \sqrt {2xy + 5} $ là tham số ta đưa được hệ phương trình về hệ bậc nhất 2 ẩn $x$ và $y$.
Điều kiện $2xy + 5 \ge 0$
Đặt $u = \sqrt {2xy + 5} ,\left( {u \ge 0} \right) \Rightarrow 2xy = {u^2} – 5$
Hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)u = 2\left( {{u^2} – 5} \right) – 3y + 1\\\left( {x + 2y} \right)u = 3\left( {{u^2} – 5} \right) + x – 7y + 6\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u^2} – \left( {x + y} \right)u – 3y – 9 = 0\\3{u^2} – \left( {x + 2y} \right)u + x – 7y – 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- ux – \left( {u + 3} \right)y = – 2{u^2} + 9\\\left( {1 – u} \right)x – \left( {7 + 2u} \right)y = 21 – 3{u^2}
\end{array} \right.$
Kết luận
Các bài tập trên mang tính khái quát các dạng toán là chủ yếu. Để thuần thục kỹ năng giải hệ phương trình 2 ẩn bậc nhất, sau khi tìm hiểu lý thuyết bạn đọc áp dụng ngay vào bài tập càng nhiều càng tốt. Đây là một dạng bài tập về hệ phương trình khá đơn giản, nhưng là nguồn gốc của nhiều bài toán phức tạp khác nhau.
