Tìm m để hàm số đồng biến trên R, nghịch biến trên R

Sau khi tìm hiểu bài viết tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. Ở bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết hơn về dạng toán này với điều kiện là đơn điệu trên R. Các bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R được phân bổ theo mức độ từ dễ đến khó giúp bạn đọc dễ dàng tiếp cận nhất có thể.

Mục lục1.Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R2.Bài tập tìm m để hàm số đơn điệu trên R

Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

1/ Định lí về tính đồng biến nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

2/ Đối với hàm số bậc 3

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx + c

TH1: a = 0 (nếu có tham số)

TH2: a ≠ 0

+ Hàm số đồng biến trên ℝ

+ Hàm số nghịch biến trên ℝ

3/ Đối với hàm số bậc nhất

Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0

Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0

Bài tập tìm m để hàm số đơn điệu trên R

Các bài tập được trình bày theo thứ tự từ khó đến dễ. Bạn có thể tham khảo thêm các bài tập trong phần tài liệu.

Câu 1. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A.

B. y = x3 + x

C. y = -x3 – 3x

D.

Lời giải

Chọn B

Vì y = x3 + x ⇒ y’ = 3×2 + 1 > 0 ∀ x ∊ ℝ

Câu 2. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. y = x4 + 3×2

B.

C. y = 3×3 + 3x – 2

D. y = 2×3 – 5x + 1

Lời giải

Chọn C

Hàm số y = 3×3 + 3x – 2 có TXĐ D = ℝ

y’ = 9×2 + 3 > 0 ∀ x ∊ ℝ

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

Câu 3. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 – 1) x3 + (m – 1) x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn C

TH1: m = 1. Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.

TH2: m = -1. Ta có: y = – 2×2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.

TH3: m ≠ 1.

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ.Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.

⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m = 0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

Câu 4. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ⅓ (m2 – m) x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ.

+ Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

+ Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

+ Với

ta có y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2; -1; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Câu 5. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

A.

B. 2

C.

D.

Lời giải

Ta có

f(x) = m2x4 – mx2 + 20x – (m2 – m – 20) = m2(x4 – 1) – m(x2 – 1) + 20(x + 1)

= m2(x + 1)(x – 1)(x2 + 1) – m(x – 1)(x + 1) + 20(x + 1)

= (x + 1)[m2(x – 1)(x2 + 1) – m(x – 1) + 20]

f’(x) = 0

Ta có f’(x) = 0 có một nghiệm đơn là x = -1, do đó nếu (*) không nhận x = -1 là nghiệm thì f’(x) đổi dấu qua x = -1. Do đó để f(x) đồng biến trên ℝ thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ hay (*) nhận x = -1 làm nghiệm (bậc lẻ).

Suy ra m2(-1 – 1)(1 + 1) – m(-1 – 1) + 20 = 0 ⇔ -4m2 + 2m + 20 = 0

Tổng các giá trị của m là

.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và bài tập cho dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Mong rằng qua bài giảng trên sẽ giúp các bạn học sinh hiểu hơn về tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán nâng cao, mở rộng.