Toán Học

Phương trình trùng phương | Lý thuyết & bài tập

Mục lục 1. Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương 2. Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy 3. Phương trình bậc bốn khuyết ${x^3}$ 4. Phương trình có dạng $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + […]
155

Mục lục1.Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương2.Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy3.Phương trình bậc bốn khuyết ${x^3}$4.Phương trình có dạng $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + d$

Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương

Phương trình trùng phương có dạng: $a{x^4} + b{x^2} + c = 0(a \ne 0)$

Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn $t = {x^2}$, trong đó $t \ge 0$: $a{t^2} + bt + c = 0$

Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần lưu ý điều kiện: $t \ge 0$

Ví dụ 4: Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^2} – 7 = 0$.

Giải:

Đặt $t = {x^2}(t \ge 0)$ thì phương trình đã cho trở thành:

$2{t^2} + 3t – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{ – 3 + \sqrt {65} }}{4} >0}\\{t = \frac{{ – 3 + \sqrt {65} }}{4} < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt t = \pm \frac{{\sqrt { – 3 + \sqrt {65} } }}{4}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x = \pm \frac{{\sqrt { – 3 + \sqrt {65} } }}{4}$

Ví dụ 5: Giải phương trình ${x^4} – 4{x^3} + 5{x^2} – 2x – 3 = 0$

Đặt $x = t + 1$ thì phương trình trên trở thành:

${(t + 1)^4} – 4{(t + 1)^3} + 5{(t + 1)^2} – 2(t + 1) – 3 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^4} – {t^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2} < 0$ (Loại) hoặc ${t^2} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}$

$ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = t + 1 = 1 \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} $

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 1 \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} $

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào nhận xét sau:

Để kiểm tra phương trình ${a^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ có phải bản chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt $x = t – \frac{b}{{4a}}$. Ngoài ra thì ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn:

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^3}$

Ví dụ 6: Giải phương trình ${(x – 1)^4} + {(x + 3)^4} = 40$

Đặt $x = t – 1$ thì phương trình sẽ trở thành:

${(t – 2)^2} + {(t + 2)^2} = 40 \Leftrightarrow 2{t^4} + 48t{}^2 – 8 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} = – 12 – 2\sqrt {37} < 0$ (Loại) Hoặc ${t^2} = – 12 + 2\sqrt {37} $

$ \Leftrightarrow t = \pm ( – 12 + 2\sqrt {37} ) \Rightarrow x = – 1 \pm \sqrt { – 12 + 2\sqrt {37} } $

Nhận xét: Với phương trình có dạng ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$, ta đặt $x = t – \frac{{a + b}}{2}$ để phương trình quy về phương trình trùng phương ẩn t.

Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy

Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + a = 0(a \ne 0)$

Vì $a \ne 0$ nên chắc chắn $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $ \Rightarrow x \ne 0$. Chia hai về cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

$a{x^2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{{{x^2}}} = 0$

$ \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + c = 0$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}(\left| t \right| \ge 2)$. Khi đó: ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2$. Phương trình trên trở thành:

$a({t^2} – 2) + bt + c = 0$

Giải phương trình này tìm $t$ với lưu ý $\left| t \right| \ge 2$.

Sở dĩ ta có điều kiện $\left| t \right| \ge 2$ là do $\left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left| x \right|}} \ge \frac{{2\left| x \right|}}{{\left| x \right|}} = 2$

Với cách giải tương tự, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng:

$a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} – bx + a = 0(a \ne 0)$

Ta chia hai vế cho ${x^2},$ rồi đặt $t = x – \frac{1}{x}$ (không cần điều kiện của $t$ vì với $x \ne 0$ thì $\left( {x – \frac{1}{x}} \right)$ có tập giá trị là $R$) để giải quyết.

Ví dụ 7: Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^3} – 5{x^2} + 3x + 2 = 0$

(Phương trình trên có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ \Rightarrow x \ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + 3x – 5 + \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} = 0$

$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + \frac{1}{{x{}^2}}} \right) + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – 5 = 0(*)$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$ với điều kiện $\left| t \right| \ge 2$. $ \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2$

Lúc đó phương trình $(*)$ trở thành $2({t^2} – 2) + 3t – 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$ (loại) Hoặc $t = – 3$

Với $t = – 3 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = – 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Ví dụ 8: Giải phương trình ${x^4} + 3{x^3} – 6{x^2} – 3x + 1 = 0$

(Phương trình có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ \Rightarrow x \ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + 3x – 6 – \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 2} \right) + 3\left( {x – \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2} + 3\left( {x – \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – \frac{1}{x} = 1}\\{x – \frac{1}{x} = – 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\{x = – 2 \pm \sqrt 5 }\end{array}} \right.$

Phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}; – 2 \pm \sqrt 5 } \right\}$

Ví dụ 9: Giải phương trình: ${x^4} + 3{x^3} – 6{x^2} + 6x + 4 = 0$

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ \Rightarrow x \ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + 3x – 6 + \frac{6}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) + 3\left( {x + \frac{2}{x}} \right) – 10 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^2} + 3\left( {x + \frac{2}{x}} \right) – 10 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{2}{x} = – 5}\\{x + \frac{2}{x} = 2(VN)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {17} }}{2}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {17} }}{2}$

Nhận xét: Phương trình trên có dạng $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0(a \ne 0)$

Đây là một dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx – a{k^2} = 0(a \ne 0)$

Phương trình bậc bốn khuyết ${x^3}$

Phương trình có dạng: $a{x^4} + b{x^2} + cx + d = 0$

Ví dụ 10: Giải phương trình ${x^4} – 11{x^2} + 12x – 3 = 0$

Dựa trên ý tưởng đưa phương trình về dạng ${(a{x^2} + b)^2} = {(cx + d)^2}$, ta sẽ triển khai như sau:

Bước 1: Cô lập ${x^4},$ về một vế: ${x^4} = 11{x^2} – 12x + 3$

Bước 2: Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là $(2m{x^2} + {m^2})$, trong đó $m$ là hằng số ta tìm sao cho phù hợp:

${x^4} + 2m{x^2} + {m^2} = (2m + 11){x^2} – 12x + (3 + {m^2})$

$ \Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} = (2m + 11){x^2} – 12x + (3 + {m^2})(*)$

Bước 3: Tìm hằng số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức $\Delta $ của vế phải đúng bằng $0$.

$ \Leftrightarrow {12^2} – 4(2m + 11)(3 + {m^2}) = 0$

$ \Leftrightarrow m = – 1$ hoặc $m = \frac{{ – 9 \pm \sqrt {105} }}{4}$

Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn $m = – 1$. Khi đó $(*)$ sẽ trở thành:

${({x^2} – 1)^2} = 9{x^2} – 12x + 4 \Leftrightarrow {({x^2} – 1)^2} = {(3x – 2)^2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 1 = 3x – 2}\\{{x^2} – 1 = 2 – 3x}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.$

Kết luận phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}} \right\}$

Nhận xét: Như vậy, việc giải phương trình có dạng khuyết ${x^3}$ được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng nhất vẫn là bước giải phương trình tìm ra $m$. Nếu phương trình bậc ba ẩn $m$ dễ giải thì quá tuyệt vời

Phương trình có dạng $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + d$

Cách giải phương trình này là xét trường hợp $x = 0$. Còn trường hợp $x \ne 0$ thì biến đổi phương trình về dạng:

$[{x^2} + (a + b)x + ab][{x^2} + (c + d)x + cd] = m$

Do $a + b = c + d$ nên ta đặt $t = {x^2} + (a + b)x$ thì phương trình trở thành: $(t + ab)(t + cd) = m$

→ Đây là phương trình bậc hai ẩn $t$. Ta tiến hành tìm $t$ sau đó quay ngược lại tìm $x$.

Ví dụ 11: Giải phương trình $({x^4} + 4x + 3)({x^2} + 12x + 35) = 9$

Phương trình đã cho tương đương với:

$(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9$

$ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) = 9$

$ \Leftrightarrow ({x^2} + 8x + 7)({x^2} + 8x + 15) = 9$

$ \Leftrightarrow {({x^2} + 8x)^2} + 22({x^2} + 8x) + 96 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 8x = – 6}\\{{x^2} + 8x = – 16}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 4 \pm \sqrt {10} }\\{x = – 4}\end{array}} \right.$

e) Phương trình dạng $({x^2} + bx + a)({x^2} + cx + a) = m{x^2}$

Đầu tiên thử xem $x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không. Khi $x \ne 0$ ta tiến hành chia hai về của phương trình cho ${x^2} \ne 0$. Ta được:

$\left( {x + \frac{a}{x} + b} \right)\left( {x + \frac{a}{x} + c} \right) = m$

(“chia phân phát” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho $x$)

Đây là phương trình bậc hai, ẩn $t = x + \frac{a}{x}$

Ví dụ 12: Giải phương trình $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = \frac{{ – 3{x^2}}}{4}$

Phân tích: Nhận xét rằng 6×1 = 2×3 nên ta sử dụng phép nhân phân phối để đưa về dạng phương trình đề cập trong trường hợp này:

$ \Leftrightarrow ({x^2} + 7x + 6)({x^2} + 5x + 6) = \frac{{ – 3{x^2}}}{4}$

$ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{6}{x} + 7} \right)\left( {x + \frac{6}{x} + 5} \right) = \frac{{ – 3}}{4}$ (Dễ thấy $x \ne 0$)

$ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{6}{x}} \right)^2} + 12\left( {x + \frac{6}{x}} \right) + \frac{{143}}{4} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{6}{x} = \frac{{ – 11}}{2}}\\{x + \frac{6}{x} = \frac{{ – 13}}{2}}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 3}}{2}}\\{x = – 4}\\{x = \frac{{ – 13 \pm \sqrt {73} }}{4}}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { – 4;\frac{{ – 3}}{2};} \right\}$