Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên đoạn có độ dài l là một bài toán hay trong chương trình toán 12. Bài toán vận dụng phương pháp tìm m để thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số đồng thời ứng dụng định lý VIET, một kiến thức quan trọng khi tìm hiểu về hàm số. Vậy phương pháp giải bài toán này như thế nào? Có những biến thể nào của bài toán? Chúng ta cùng tìm hiểu thông qua bài viết ngay sau đây.

Mục lục1.Phương pháp giải bài toán2.Bài tập mẫu

Phương pháp giải bài toán

Bài toán: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + x + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

Ứng dụng định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 1

1) Tìm m để hàm số H3 đồng biến trên (1; +∞).

2) Tìm m để hàm số y = -x3 + 3×2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.

Lời giải.

1)

TXÐ: D = ℝ

Ta có: y’ = x2 – 2mx + 1 – 2m

Hàm số cho đồng biến trên (1; +∞) ⇔ y’ ≥ 0

⇔ x2 – 2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m (x + 1)

⇔

(do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số

, x ∊ (1; +∞)

, ∀ x ∊ (1; +∞)

Suy ra f(x) ≥ 2m, ∀ x ∊ (1; +∞)

⇔ f(1) ≥ 2m

⇔ 1 ≥ 2m ⇔ m ≤ ½

2) y = -x3 + 3×2 + (m – 1) x + 2m – 3

TXÐ: D=R

Ta có: y’ = -3×2 + 6x + m–1, ∆’ = 3m +6

Nếu m ≤ -2 ⇒ ∆’ ≤ 0 ⇒ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ nên hàm số không có khoảng đồng biến.

Nếu m > -2 ⇒ y’ = 0 có hai nghiệm x1 < x2, và y’ ≤ 0 ⇔ x ∊ [x1;x2]

⇒ Yêu cầu bài toán ⇔ |x1 – x2| < 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 < 1

Vậy

là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = x3 + 3×2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2

A. m = 0

B. m < 3

C. m = 2

D. m > 3

Đáp án: A

Đạo hàm: y’ = 3×2 + 6x + m.

Xét phương trình y’ = 0 hay 3×2 + 6x + m = 0 (*)

Để hàm số nghịch biển trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 và |x1 – x2| = 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Giải |x1 – x2| = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4

⇔ (x1 + x2)2 – 4×1․x2 = 4

⇔ m = 0

Vậy m = 0

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực m để f(x) = -x3 + 3×2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.

A. m ≥ 0

B. m ≤ 0

C.

D.

Đáp án: D

Ta có đạo hàm y’ = -3×2 + 6x + m – 1.

Hàm số đồng biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2, thỏa mãn |x1 – x2| = 1.

Theo Vi-ét ta có

Để |x1 – x2| > 1 ⇔ (x1 – x2)2 > 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4×1․x2 > 1

⇔ 4m + 5 > 0 hay

Kết hợp với điều kiện ta được:

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y = 2×3 + 3(m – 1) x2 + 6(m – 2) x + 3 nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3.

A. m > 6

B. 0 < m < 6

C. m < 0

D. m < 0 hoặc m > 6

Đáp án: D

Tập xác định D = ℝ.

Ta có đạo hàm y’ = 6×2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2)

Xét phương trình y’ = 0 hay 6×2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2) = 0

Hàm số nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho|x1 – x2| > 3 (1)

Tương đương với: