Hàm số bậc nhất | Lý thuyết & các dạng bài tập

Home » Hàm số

15/09/2020

Hàm số bậc nhất là hàm được cho bởi công thức $y = ax + b$. Tuy nhiên khi gặp ở một bài toán cụ thể bạn sẽ gặp hàm số này ở nhiều dạng khác nhau. Cùng VerbaLearn tìm hiểu trong bài viết này nhé.

Mục lục1.1. Hàm số $y = ax + b$, $(a \ne 0)$2.2. Hàm số $y = b$3.3. Hàm số $y = \left| x \right|$4.4. Cách vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {{\rm{ax + b}}} \right|$5.5. Bài tập hàm số bậc nhất6.6. Bài tập trắc nghiệm hàm số bậc nhất

1. Hàm số $y = ax + b$, $(a \ne 0)$

+) Tập xác định $D = R$

+) Bảng biến thiên:

Đồ thị là đường thẳng không song song và không trùng với các trục toạ độ.

→ Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng $y = {\rm{ax}}$ (nếu $b \ne 0$) và đi qua hai điểm $A\left( {0;b} \right)$, $B\left( { – \frac{b}{a};0} \right)$.

2. Hàm số $y = b$

+) Tập xác định $D = R$

+) Hàm số hằng là hàm số chẵn

→ Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có toạ độ $(0;b)$

3. Hàm số $y = \left| x \right|$

+) Tập xác định $D = R$

+) Hàm số $y = \left| x \right|$ là hàm số chẵn

+) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$ và nghịch biến trên khoảng $( – \infty ;0)$

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị

4. Cách vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {{\rm{ax + b}}} \right|$

Vẽ đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$ và đường thẳng $y = – {\rm{ax – b}}$ rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành.

5. Bài tập hàm số bậc nhất

Bài 1. Xác định $a$ và $b$ để đồ thị của hàm số $y = ax + b$ đi qua các điểm

a) $A\left( {0;3} \right),B\left( {\frac{3}{5};0} \right)$

b) $A\left( {1;2} \right),B\left( {2;1} \right)$

c) $A\left( {15; – 3} \right),B\left( {21; – 3} \right)$

d) $A\left( {\frac{2}{3}; – 2} \right),B\left( {0;1} \right)$

e) $A\left( {1; – 2} \right),B\left( {99; – 2} \right)$

f) $A\left( {4;2} \right),B\left( {1;1} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua:

a) $A\left( {1;2} \right),B\left( {2;1} \right)$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}0.a + b = 3\\\frac{3}{5}.a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 5\\b = 3\end{array} \right.$. Vậy $a = – 5,b = 3$

b) $A\left( {1;2} \right),B\left( {2;1} \right)$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1.a + b = 2}\\{2.a + b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = – 1}\\{b = 3}\end{array}} \right.$. Vậy ${a = – 1,b = 3}$.

c), d), e), f) thực hiện giải tương tự.

Bài 2. Viết phương trình $y = ax + b$ của các đường thẳng :

a) Đi qua $A\left( {4;3} \right),B\left( {2; – 1} \right)$

b) Đi qua điểm $C\left( {1; – 1} \right)$ và song song với trục $Ox$

c) Đi qua điểm $D\left( { – 5;4} \right)$ và song song với trục $Oy$

d) Song song với đường thẳng $y = 3x – 2$ và đi qua điểm $E\left( {2;3} \right)$

e) Đi qua điểm $F\left( {3; – 2} \right)$ và vuông góc đường thẳng $\left( d \right):y = 3x – 4$

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $A$ và $B$, nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 3\\2.a + b = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 5\end{array} \right.$. Vậy $y = 2x – 5$

b) Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $C$ và song song với trục $Ox$, nên ta có phương trình cần tìm là $y = b = – 1$

c) Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $D$ và song song với trục $Oy$, nên ta có phương trình cần tìm là $x = a = – 5$

d) Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm E và song song với đường thẳng $y = 3x – 2$, nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}3a + b = – 2\\a = a’ = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{3}\\b = – 1\end{array} \right.$. Vậy $y = 3x – 3$.

e) Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $F$ và vuông góc với đường thẳng $y = 3x – 4$, nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}3a + b = – 2\\a.a’ = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{3}\\b = – 1\end{array} \right.$. Vậy $y = – \frac{1}{3} – 1$

Bài 3. Xác định $a,b$ sao cho đường thẳng $y = ax + b$

a) Cắt đường thẳng $y = 2x + 5$ tại điểm có hoành độ bằng $–2$ và cắt đường thẳng $y = –3x + 4$ tại điểm có tung độ bằng $–2$.

b) Song song với đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$ và đi qua giao điểm của hai đường thẳng: $y = – \frac{1}{2}x + 1$ và $y = 3x + 5$

Hướng dẫn giải

a) Trên đường thẳng $y = 2x + 5$, điểm có hoành độ bằng $ – 2$ là $A\left( {–2;0} \right)$. Trên đường thẳng $y = – 3x + 4$, điểm có tung độ bằng $–2$ là $B\left( {2;–2} \right)$.

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm $A$ và $B$. Nên ta có $\left\{ \begin{array}{l} – 2a + b = 1\\2a + b = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{3}{4}\\b = \frac{{ – 1}}{2}\end{array} \right.$.

b) Gọi $M$ là giao điểm của của hai đường thẳng $y = – \frac{1}{2}x + 1$ và $y = 3x + 5$, có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y = – \frac{1}{2} + 1\\y = 3x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{8}{7}\\y = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.$. Vậy $M\left( { – \frac{8}{7};\frac{{11}}{7}} \right)$. Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M$ và song song với đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$, nên ta tìm được $a = \frac{1}{2}$ ; $b = \frac{{15}}{7}$

Bài 4. Vẽ đồ thị các hàm số sau

a) ${y = 2x – 3}$

b) ${y = \sqrt 2 }$

c) ${y = – \frac{3}{2}x + 7}$

d) ${y = \left| x \right| + 1}$

e) ${y = \left| {x – 2} \right|}$

f) ${y = \left| {x – 3} \right|}$

g) ${y = \left| {3x – 2} \right|}$

h) $y = \left| x \right| + 2x$

Hướng dẫn giải

Để vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b$ ta chỉ cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng đó.

Để vẽ đồ thị hàm số trị tuyệt đối $y = \left| {{\rm{ax + b}}} \right|$, vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và đường thẳng $y = – {\rm{ax – b}}$ rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành.

a) Đồ thị hàm số $y = 2x – 3$ đi qua hai điểm $A\left( {0; – 3} \right)$, $B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$

b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt 2 $ là đường thẳng song song với trục hoành

c) Đồ thị hàm số $y = – \frac{3}{2}x + 7$ đi qua hai điểm $C\left( {0;7} \right)$, $D\left( {2;4} \right)$

d) Ta vẽ đồ thị hàm số $y = \left| x \right|$, sau đó tịnh tiến lên trên trục tung một đơn vị, ta được đồ thị hàm số $y = \left| x \right| + 1$

e) f), g), h) hình vẽ.

6. Bài tập trắc nghiệm hàm số bậc nhất

Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $M\left( { – 1;3} \right)$ và $N\left( {1;2} \right)$. Tính tổng $S = a + b$.

A. $S = – \frac{1}{2}$

B. $S = 3$.

C. $S = 2$.

D. $S = \frac{5}{2}$

Câu 2. Tìm $m$ để hàm số $y = – \left( {{m^2} + 1} \right)x + m – 4$ nghịch biến trên $R$.

A. $m > – 1$.

B. $m > 1$.

C. Với mọi $m$.

D. $m < – 1$.

Câu 3. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án $A,B,C,D$ sau đây?

A. $y = – \left| {2x – 1} \right|$.

B. $y = 2x – 1$.

C. $y = \left| {2x – 1} \right|$.

D. $y = 1 – 2x$.

Câu 4. Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$. Tìm $a$ và $b$, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng ${\Delta _1}:y = 2x + 5$ tại điểm có hoành độ bằng $ – 2$ và cắt đường thẳng ${\Delta _2}:y = – 3x + 4$ tại điểm có tung độ bằng $ – 2$.

A. $a = \frac{3}{4};b = – \frac{1}{2}$

B. $a = – \frac{3}{4};b = \frac{1}{2}$

C. $a = – \frac{3}{4};b = – \frac{1}{2}$

D. $a = \frac{3}{4};b = \frac{1}{2}$

Câu 5. Tìm $m$ để hàm số $y = m\left( {x + 2} \right) – x\left( {2m + 1} \right)$ nghịch biến trên $R$.

$m > – \frac{1}{2}$

$m > – 2$.

$m < – \frac{1}{2}$

$m > – 1$.

Câu 6. Tìm $m$ để hàm số $y = \left( {2m + 1} \right)x + m – 3$ đồng biến trên $R$.

$m > \frac{1}{2}$

$m < \frac{1}{2}$

$m < – \frac{1}{2}$

$m > – \frac{1}{2}$

Câu 7. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng $y = \sqrt 2 x$.

$y = 1 – \sqrt 2 x$.

$y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x – 3$

$y + \sqrt 2 x = 2$.

$y – \frac{2}{{\sqrt 2 }}x = 5$

Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng $y = – 5\left( {x + 1} \right)$, $y = mx + 3$ và $y = 3x + m$ phân biệt và đồng qui.

$m \ne 3$.

$m = 13$.

$m = – 13$.

$m = 3$.

Câu 9. Cho hàm số $y = ax + b$ có đồ thị là hình bên. Tìm $a$ và $b$

$a = – 3$ và $b = 3$.

$a = \frac{3}{2}$ và $b = 3$.

$a = – 2$ và $b = 3$.

$a = – \frac{3}{2}$ và $b = 2$.

Câu 10. Tìm $a$ và $b$ để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua các điểm $A\left( { – 2;1} \right)$, $B\left( {1; – 2} \right)$.

$a = 1$ và $b = 1$.

$a = – 1$ và $b = – 1$.

$a = – 2$ và $b = – 1$.

$a = 2$ và $b = 1$.

Câu 11. Tìm giá trị thực của $m$ để hai đường thẳng $d:y = mx – 3$ và $\Delta :y + x = m$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.

A. $m = 0$.

B. $m = 3$.

C. $m = \pm 3$.

D. $m = – 3$.

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai đường thẳng $d:y = mx – 3$ và $\Delta :y + x = m$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.

A. $m = – \sqrt 3 $.

B. $m = 3$.

C. $m = \sqrt 3 $.

D. $m = \pm \sqrt 3 $.

Câu 13. Cho hàm số $y = x – 1$ có đồ thị là đường $\Delta $. Đường thẳng $\Delta $ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích $S$ bằng bao nhiêu?

A. $S = 2$.

B. $S = \frac{3}{2}$.

C. $S = \frac{1}{2}$.

D. $S = 1$.

Câu 14. Biết rằng đồ thị hàm số $y = x – 1$ đi qua điểm $A\left( { – 3;1} \right)$ và có hệ số góc bằng $ – 2$. Tính tích $P = ab$.

A. $P = – 5$.

B. $P = 10$.

C. $P = – 7$.

D. $P = – 10$.

Câu 15. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \left| x \right|$.

B. $y = \left| x \right| + 1$.

C. $y = 1 – \left| x \right|$

D. $y = \left| x \right| – 1$.

Câu 16. Tìm phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$. Biết đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {2;3} \right)$ và tạo với hai tia $Ox,Oy$ một tam giác vuông cân.

A. $y = – x – 5$.

B. $y = x – 5$.

C. $y = x + 5$.

D. $y = – x + 5$.

Câu 17. Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$. Tìm $a$ và $b$, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( { – 1;1} \right)$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là $5$.

A. $a = \frac{1}{6};b = \frac{5}{6}$

B. $a = – \frac{1}{6};b = – \frac{5}{6}$

C. $a = \frac{1}{6};b = – \frac{5}{6}$

D. $a = – \frac{1}{6};b = \frac{5}{6}$

Câu 18. Tìm phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$. Biết đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {1;3} \right)$, cắt hai tia $Ox,Oy$ và cách gốc tọa độ một khoảng bằng $5$.

A. $y = – 2x + 5$.

B. $y = – 2x – 5$.

C. $y = 2x – 5$.

D. $y = 2x + 5$.

Câu 19. Tìm phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$. Biết đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {1;2} \right)$ và tạo với hai tia $Ox,Oy$ một tam giác có diện tích bằng $4$.

A. $y = 2x + 4$.

B. $y = – 2x + 4$.

C. $y = 2x – 4$.

D. $y = – 2x – 4$.

Câu 20. Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$ và song song với đường thẳng $y = 2x + 1$. Tính tổng $S = a + b$.

A. $S = – 4$.

B. $S = 4$.

C. $S = 2$.

D. $S = 0$.

Câu 21. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án $A,B,C,D$ sau đây?

A. $y = \left| {3x + 4} \right|$.

B. $y = \left| {4x – 3} \right|$.

C. $y = \left| { – 3x + 4} \right|$.

D. $y = \left| {4x + 3} \right|$.

Câu 22. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = – x + 1$.

B. $y = x + 1$.

C. $y = – x + 2$.

D. $y = 2x + 1$.

Câu 23. Cho hàm số $y = 2x + m + 1$. Tìm giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

A. $m = \pm 7$.

B. $m = 3$.

C. $m = – 7$.

D. $m = 7$.

Câu 24. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \left| {x + 1} \right|$.

B. $y = \left| x \right| + 1$.

C. $y = 2\left| x \right| + 1$.

D. $y = \left| {2x + 1} \right|$.

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = \left( {{m^2} – 3} \right)x + 2m – 3$ song song với đường thẳng $y = x + 1$.

A. $m = 1$.

B. $m = 2$.

C. $m = \pm 2$.

D. $m = – 2$.

Câu 26. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y = \frac{{1 – 3x}}{4}$ và $y = – \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)$ là:

A. $\left( {0; – 1} \right)$.

B. $\left( {2; – 3} \right)$.

C. $\left( {0;\frac{1}{4}} \right)$.

D. $\left( {3; – 2} \right)$.

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = 3x + 1$ song song với đường thẳng $y = \left( {{m^2} – 1} \right)x + \left( {m – 1} \right)$.

A. $m = \pm 2$.

B. $m = 2$.

C. $m = – 2$.

D. $m = 0$.

Câu 28. Cho hàm số $y = 2x + m + 1$. Tìm giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $ – 2$.

A. $m = – 1$.

B. $m = – 3$.

C. $m = 3$.

D. $m = 0$.

Câu 29. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x – 3\, & khi\,x \ge 1\\x – 2\, & khi\,x < 1\end{array} \right.$

B. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x – 3\, & khi\,x < 1\\x – 2\, & khi\,x \ge 1\end{array} \right.$

C. $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x – 4\, & khi\,x \ge 1\\ – x\, & khi\,x < 1\end{array} \right.$

D. $f = \left| {x – 2} \right|$.

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = \left( {3m + 2} \right)x – 7m – 1$ vuông góc với đường $\Delta :y = 2x – 1$.

A. $m < \frac{5}{6}$.

B. $m > – \frac{1}{2}$.

C. $m = 0$.

D. $m = – \frac{5}{6}$

Câu 31. Đường thẳng $d:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, $\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)$ đi qua điểm tạo với các tia $Ox,Oy$ một tam giác có diện tích bằng $4$. Tính $S = a + 2b$.

A. $S = 10$.

B. $S = 6$.

C. $S = – \frac{{38}}{3}$

D. $S = \frac{{ – 5 + 7\sqrt 7 }}{3}$

Câu 32. Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $E\left( {2; – 1} \right)$ và song song với đường thẳng $ON$ với $O$ là gốc tọa độ và $N\left( {1;3} \right)$. Tính giá trị biểu thức $S = {a^2} + {b^2}$.

A. $S = 58$.

B. $S = -40$.

C. $S = -58$.

D. $S = -4$.

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đường thẳng $y = {m^2}x + 2$ cắt đường thẳng $y = 4x + 3$.

A. $m \ne – 2$.

B. $m \ne \pm 2$.

C. $m \ne 2$.

D. $m = \pm 2$.

Câu 34. Hàm số $y = 2x – 1$ có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau?

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { – 2017;2017} \right]$ để hàm số $y = \left( {m – 2} \right)x + 2m$ đồng biến trên $R$.

A. Vô số.

B. 2015.

C. 2014.

D. 2016.

Câu 36. Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $N\left( {4; – 1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $4x – y + 1 = 0$. Tính tích $P = ab$.

A. $P = \frac{1}{4}$

B. $P = – \frac{1}{2}$

C. $P = 0$.

D. $P = – \frac{1}{4}$

Câu 37. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \left| {3x + 2} \right| – 1$.

B. $y = \left| {2x + 3} \right|$.

C. $y = \left| {2x + 3} \right| – 1$.

D. $y = \left| {x – 2} \right|$.

Câu 38. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$ dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = – x$ với $x < 0$.

B. $y = \left| x \right|$.

C. $y = – x$.

D. $y = \left| x \right|$ với $x > 0$.

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { – 2017;2017} \right]$ để hàm số $y = \left( {{m^2} – 4} \right)x + 2m$ đồng biến trên $R$.

A. 4030.

B. 4034.

C. Vô số.

D. 2015.

Câu 40. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để ba đường thẳng $y = 2x$, $y = – x – 3$ và $y = mx + 5$ phân biệt và đồng qui.

A. $m = – 5$.

B. $m = 7$.

C. $m = – 7$.

D. $m = 5$.

Vậy là VerbaLearn Math vừa giúp bạn đọc tìm hiểu xong các kiến thức từ cơ bản đến nâng cao của chuyên đề hàm số bậc nhất. Bạn đọc còn thắc mắc vấn đề gì có thể để lại lời nhắn dưới bài viết này nhé.